Matematyka.pl

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC, w którym bok AB ma długość \(\displaystyle{ a}\), a kąty wewnętrzne do niego przyległe mają miary \(\displaystyle{ \beta}\) i \(\displaystyle{ \gamma}\) . Krawędź boczna ostrosłupa wychodząca z wierzchołka C jest prostopadła do podstawy i ma długość \(\displaystyle{ d}\). Oblicz objętości brył, na które ten ostrosłup dzieli płaszczyzna równoległa do podstawy i odległa od niej o d/3.

Z tego co widzę to wysokośc ostrosłupa równa jest H=d

Najpierw wyznaczyłem objętość całkowitą danego ostrosłupa, otrzymałem:

\(\displaystyle{ V_c = \frac{1}{6} a^2d \frac{ tg \beta tg \gamma}{ tg \gamma + tg \beta}}\)

Nastepnie znalazłem skalę podobieństwa (V1 - górna część której odpowiada długość wysokości równa \(\displaystyle{ \frac{2}{3} d}\), V2 - dolna. której odpowiada długośc \(\displaystyle{ \frac{1}{3} d}\)). Mamy zatem:

\(\displaystyle{ k = \frac{ \frac{2}{3}d }{ \frac{1}{3} d} = 2}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2} = k^3 \Leftrightarrow V_1 = 8V_2}\), ponad to \(\displaystyle{ V_c = V_1+V_2}\)

I dalej juz łatwo znajdujemy odpowiednie objętości.

Czy w ten sposób jest to zadanie poprawnie rozwiązane?

\(\displaystyle{ V_c}\) obliczyłeś dobrze. Natomiast górna i dolna część w ogóle nie są do siebie podobne. Należałoby raczej skorzystać z faktu, że górna część jest podobna do całego ostrosłupa w skali \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Tak więc \(\displaystyle{ V_1= \frac{8}{27} V_c}\) itd...