Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:57

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:57

Post autor: Liga » 11 lip 2009, o 00:01

zad.1 \(\begin{cases} y^6+y^3+2x^2= \sqrt{xy-x^2y^2}\\ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+2(x-y)^2} \\ x,y \in R \end{cases} \\ xy-x^2y^2=xy(1-xy)>0\\ xy(1-xy)>0\\ xy>\frac{0}{1-xy} \qquad \Rightarrow xy>0\\ 1-xy>\frac{0}{xy}\\ 1-xy>0 \qquad \Rightarrow 1>xy \\ \Rightarrow 0<xy<1\\ 0<y< \frac{1}{x} \\ \begin{cases} 0<y\\ 0< \frac{1}{x} \end{cases} \Rightarrow x,y \in R_{+} \\ 2x^2>0\\ \sqrt{1+2(x-y)^2}>0\\ 2x^2+ \sqrt{1+2(x-y)^2}>0\\ \Rightarrow 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2}>0\) zad.2 A-pierwszy stop B-drugi stop C-trzeci stop m-miedź c-cynk a-ilość A wzięta do uzyskania C b-ilość B wzięta do uzyskania C \(A=m+2c\\ B=3m+5c\\ C=a(m+2c)+b(3m+5c)=5m+9c\\ \\ \begin{cases} am+3bm=5m\\ 2ac+5bc=9c \end{cases} \\ \begin{cases} m(a+3b)=5m\\ c(2a+5b)=9c \end{cases} \\ \begin{cases} a+3b=5\\ 2a+5b=9 \end{cases} \\ \begin{cases} a=5-3b\\ 2a+5b=9 \end{cases} \\ 2(5-3b)+5b=9 10-6b+5b=9\\ \begin{cases} b=1\\ a=5-3b\\ \end{cases} \\ \begin{cases} a=2\\ b=1 \end{cases} \\ \Rightarrow a:b=2:1\) zad.3 \(\begin{cases} u_{1}=1\\ u_{n+1}=2u_{n}+7 \Leftrightarrow n \ge 1 \wedge n \in N \end{cases} \\ \begin{cases} u_{1}=1=a_{1}\\ u_{2}=2u_{1}+7=2 \cdot 1+7=9=a_{2}\\ u_{3}=2u_{2}+7=2 \cdot 9+7=25=a_{3}\\ u_{4}=2u_{3}+7=2 \cdot 25+7=57=a_{4}\\ u_{5}=2u_{4}+7=2 \cdot 57+7=121=a_{5}\\ u_{6}=2u_{5}+7=2 \cdot 121+7=249=a_{6} \end{cases} \\ \begin{cases} a_{1}=1\\ a_{2}=9=2+7=2^1+7 \cdot 1=2^1+7(2^1-1)\\ a_{3}=25=4+21=2^2+7 \cdot 3=2^2+7(2^2-1)\\ a_{4}=57=8+49=2^3 +7 \cdot 7=2^3 +7(2^3-1)\\ a_{5}=121=16+105=2^4+7 \cdot 15=2^4+7(2^4-1)\\ a_{6}=249=32+217=2^5+7\cdot 31=2^5+7(2^5-1)\\ \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} a_{1}=1\\ a_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1) \end{cases} \\ a_{60}=2^{60-1}+7(2^{60-1}-1)= 4611686018427390000\\ a_{61}=2^{61-1}+7(2^{61-1}-1)= 9223372036854780000 \\ \begin{cases} u_{1}=1=a_{1}\\ u_{2}=9=a_{2}\\ u_{3}=25=a_{3}\\ u_{4}=57=a_{4}\\ u_{5}=121=a_{5}\\ u_{6}=249=a_{6}\\\ …\\ u_{60}=2u_{59}+7=2 \cdot 2305843009213690000= 4611686018427390000=a_{60}\\ u_{61}=2u_{60}+7=2 \cdot 4611686018427390000=9223372036854770000 \neq a_{61} \end{cases} \\ \Rightarrow a_{n}=u_{n} \Leftrightarrow n \in <1;60> \wedge n\in N\\ \\ \begin{cases} u_{n}=2^{n-1}+7(2^{n-1}-1)\\ u_{n} <9001\\ n \in N \end{cases} \\ 2^{n-1}+7 \cdot 2^{n-1}-7<9001\\ 2^{n-1}(7+1)<9008\\ 2^{n-1} \cdot 8<9008\\ 2^{n-1}<1126\\ 2^{n-1}<2^{10}+102\\ \Rightarrow n-1 \le 10\\ n \le 11\) \(\Rightarrow\) 11 jest największą liczbą naturalną, dla której zachodzi ta nierównosć zad.4 a) \(k\) - dziedzina funkcji \(n\) - zbiór wartości funkcji \(P(A)\) - prawdopodobieństwo zdarzenia \(\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}\) - ilość ciągów (funkcji) różnowartościowych \(\overline{\overline{\mathbf{A}}}\) - zdarzenia sprzyjające-ilość ciągów (funkcji) rosnących \(k=25\\ n=31 \\ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ...\cdot (n-k+1) = {n \choose k}\cdot k!\\ \overline{\overline{\mathbf{\Omega}}} = {31 \choose 25}\cdot 25!}\\ \overline{\overline{\mathbf{A}}} = {n \choose k}\\ \overline{\overline{\mathbf{A}}} = {31 \choose 25}\\ P(\mathbf{A}) = \frac{\overline{\overline{\mathbf{A}}}}{\overline{\overline{\mathbf{\Omega}}}} = \frac{{31 \choose 25}}{{31 \choose 25}\cdot 25!} = \frac{1}{25!} = \frac{1}{120}\) c) \(\left| \Omega \right| _{n}^{k}\) - ilość wszystkich funkcji \(C _{n}^{2}\) - ilość kombinacji dwuelementowych ze zbioru \(n\) \(W _{k}^{2}\) - ilość funkcji o dwuelementowym zbiorze wartości \(P(CW)\) - prawdopodobieństwo zdarzenia \(\left| \Omega \right| _{n}^{k} =n^k\\ \left| \Omega \right| _{25}^{31} =31^{25}\\ C _{n}^{2}=C _{31}^{2}= \frac{31!}{2!29!} = \frac{29! \cdot 30 \cdot 31}{2}=465 \\ W _{2}^{k}=W _{2}^{25}=2^{25}\\ \\ P(CW)= \frac{C _{31}^{2} \cdot W _{2}^{25}}{\left| \Omega \right| _{25}^{31}} = \frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}\) zad.5 \(f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\ x:= \frac{1}{x}\\ \\ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=3(\frac{1}{x}) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x\\ 4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x} \end{cases} \\ \\ \\ \begin{array}{lll} 4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x} & &\\ \underline{- [4f(\frac{1}{x})+ f(x)=3x]} & &\\\ \qquad 15f(x)=-3x+\frac{12}{x} \\ \end{array} \Rightarrow f(x)=-0,2x+\frac{0,8}{x}\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:57

Post autor: Sylwek » 12 lip 2009, o 00:22

Oceny: Zadanie 1 - 0 Zadanie 2 - 0 Zadanie 3 - 2 Zadanie 4 - 0 Zadanie 5 - 6 -- Komentarze: Zadanie 1 - Brak przyczynków do rozwiązania. Zadanie 2 - Rozwiązanie błędne, niewłaściwie zinterpretowano stosunki masowe. Zadanie 3 - Brak próby/wskazania metody dowiedzenia w ogólnym przypadku równości zadeklarowanej słowami "widać, że" (bądź dokładniejszego opisania). Zadanie 4 - Błędy merytoryczne i obliczeniowe w obu rozwiązywanych podpunktach.

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Kategoria II, 10 lipca 2009, 23:57

Post autor: lukasz1804 » 14 lip 2009, o 19:16

Zgadzam się z ocenami zadań.

ODPOWIEDZ