Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:37

Ad. 3. Zróbmy podstawienie : \(x=bc\) \(y= a(a+b+c)\) \(x,y\in R_{+}\) Zauważmy, że lewa strona po pomnożeniu ma postać \(L=(a+b)(a+c)=a ^{2}+ab+ac+bc=a(a+b+c)+bc=x+y\) Korzystając z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną: \(L=a(a+b+c)+bc=x+y \ge 2 \sqrt{xy}=2 \sqrt{bc \cdot a(a+b+c)}=2 \sqrt{abc(a+b+c)}=P\) c.b.d.o. Ad. 4. Załóżmy, że takie 2000 liczb istnieje. Oznaczmy je przez \(k, k+1, k+2, ..., k+1999\) \(k \in C\) Suma tych liczb to \(S=k+k+1+k+2+...+k+1999=1000(k+k+1999)=2 ^{3} \cdot 5 ^{3}(2k+1999)\) W rozkładzie na czynniki pierwsze kwadratu liczby całkowitej każda liczba pierwsza występuje w potędze o parzystym wykładniku. Stąd wynika, że liczba \(2k+1999=2(k+999)+1\) musi być podzielna przez 2. Jest to niemożliwe, ponieważ wyrażenie w nawiasie jest całkowite- otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje zatem 2000 kolejnych liczb całkowitych, których suma jest kwadratem liczby całkowitej. c.n.d. Ad. 5. \(\begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1 \end{cases}\) \(\begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-k) ^{2}+y ^{2}=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0 \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases}\) Rozpatrzmy równanie kwadratowe:\(2x ^{2}-2kx+k ^{2}-1=0\) \(\Delta=4k ^{2}-8(k ^{2}-1)=8-4k ^{2}=4(2-k ^{2})\) \(x _{1}= \frac{2k-2 \sqrt{2-k ^{2}} }{4}= \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}\) \(x _{2}= \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}\) Aby układ równań posiadał dokładnie 3 pary rozwiązań jedno z rozwiązań powyższego równania kwadratowego musi być równe 0, a jednocześnie drugie musi być różne od zera. 1. \(x_{1}= 0 \Rightarrow \frac{k- \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow k= \sqrt{2-k ^{2} } \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=1\) ponieważ \(k \ge 0\) 2. \(x _{2}=0 \Rightarrow \frac{k+ \sqrt{2-k ^{2} } }{2}=0 \Rightarrow -k= \sqrt{2-k ^{2}} \Rightarrow k ^{2}=2-k ^{2} \Rightarrow k=-1\), ponieważ \(k<0\) Na koniec należy sprawdzić, czy dla takich wartości parametru k rozwiązaniem układu rzeczywiście są trzy pary liczb. 1. \(k=1\) \(\begin{cases}x ^{2}=y ^{2} \\ (x-1) ^{2}+x ^{2}=1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x(x-1)+1=1 \\ x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\2x(x-1)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee \begin{cases}x=1\\ y=1 \end{cases}\vee \begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}\) 2.\(k=-1\) \(\begin{cases}(x+1) ^{2}+x ^{2}=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x(x+1)+1=1\\x ^{2}=y ^{2}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x ^{2}=y ^{2}\\ 2x(x+1)=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} \vee \begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases} \vee \begin{cases}x=-1\\y=-1 \end{cases}\) Odpowiedź: Podany układ ma trzy pary rozwiązań, gdy \(k \in \{\ -1, 1\}\\).

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: Sylwek » 11 lip 2009, o 00:38

Oceny: Zadanie 1. - brak Zadanie 2. - brak Zadanie 3. - 6 Zadanie 4. - 6 Zadanie 5. - 6 -- Komentarze: Zadanie 5. - siłowe i bardzo brzydkie rozwiązanie, niemniej poprawnie. Pamiętaj o szczegółach (podlega to pod mało istotne usterki) typu wyznaczenie dziedziny, gdy używasz w równaniu czegoś typu: \(\sqrt{2-k^2}\).

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 10 lipca 2009, 18:28

Post autor: scyth » 14 lip 2009, o 20:27

jak dla mnie OK

ODPOWIEDZ