Kategoria II, 4 lipca 2009, 17:47
: 10 lip 2009, o 23:37
zad. 1. - co nie co
musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ xy-(xy)^2 \ge 0}\) skąd wynika, że \(\displaystyle{ 1 \ge xy \ge 0}\). (łatwo zauwazyc ze nie moze byc \(\displaystyle{ xy=0}\)) ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2}\)
i
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6+4x^2}\)
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
\(\displaystyle{ y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3}\)
wobec tego musi zachodzic rownosc \(\displaystyle{ 2|x|=|y^3|}\) ktora wobec \(\displaystyle{ xy > 0}\) daje nam \(\displaystyle{ x= \frac{y^3}{2}}\). podstawiajac te zaleznosc do danych w tresci zadania: rownosci i nierownosci, po banalnych przeksztalceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ (y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4) \ge 0}\)
jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. załóżmy wiec ze istnieje liczba \(\displaystyle{ y \neq -1}\) dla ktorej istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie ze para \(\displaystyle{ (x,y)}\) spelnia ten uklad.
wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4)=y^3( y(9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2)-y^5+5y^3+4)= y^3(-y^5+5y^3+4)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge xy= \frac{y^4}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ y\in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>}\). w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f(y)=-y^5+5y^3+4}\) jest rosnaca i tu pomysłów brak...
zad. 2.
wezmy jedna jednostke pierwszego stopu i \(\displaystyle{ n}\) jednostek drugiego stopu. w pierwszej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jednostek cyny. w drugiej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) jednostek cyny.
aby spelniona byla postulowana zaleznosc musi zachodzic rownosc
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}+ \frac{3}{8}n }{ \frac{2}{3}+ \frac{5}{8}n }= \frac{5}{9}}\). po elementarnych przeksztalceniach dostaniemy \(\displaystyle{ n= \frac{4}{3}}\) wiec stopy nalezy wziac w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\)
zad. 3.
\(\displaystyle{ u_1=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=5}\)
\(\displaystyle{ u_3=25}\)
\(\displaystyle{ u_4=57}\)
\(\displaystyle{ u_5=121}\)
\(\displaystyle{ u_6=249}\)
\(\displaystyle{ u_7=505}\)
\(\displaystyle{ u_8=1017}\)
\(\displaystyle{ u_9=2041}\)
\(\displaystyle{ u_10=4089}\)
\(\displaystyle{ u_11=8185}\)
\(\displaystyle{ u_12=16377}\)
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość \(\displaystyle{ n=11}\)
zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
istnieje \(\displaystyle{ {25 \choose k}9^{25-k}}\) funkcji ktore maksimum \(\displaystyle{ =10}\) przyjmuja dla \(\displaystyle{ k}\) argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)
dwie wartosci mozna wybrac na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=465}\) sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2}\) sposoby. wobec tego
\(\displaystyle{ P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad. 5.
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\)
wstawiajac \(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\). mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}}\). łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.
musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ xy-(xy)^2 \ge 0}\) skąd wynika, że \(\displaystyle{ 1 \ge xy \ge 0}\). (łatwo zauwazyc ze nie moze byc \(\displaystyle{ xy=0}\)) ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^2} \le \frac{1}{2}}\). zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}=y^6+y^2+2x^2}\)
i
\(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+ \frac{1}{2} \ge 2x^2+ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)
dodając powyzsze nierówności stronami dostajemy
\(\displaystyle{ 4xy^3 \ge y^6+4x^2}\)
ale stosujac nierownosc miedzy srednia arytmetyczna a geometryczna mamy
\(\displaystyle{ y^6+4x^2 \ge 4|xy^3|=4xy^3}\)
wobec tego musi zachodzic rownosc \(\displaystyle{ 2|x|=|y^3|}\) ktora wobec \(\displaystyle{ xy > 0}\) daje nam \(\displaystyle{ x= \frac{y^3}{2}}\). podstawiajac te zaleznosc do danych w tresci zadania: rownosci i nierownosci, po banalnych przeksztalceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ (y+1)(9y^7-9y^6+9y^5+3y^4-2y^3+2y^2+2y-2)=9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4) \ge 0}\)
jesli \(\displaystyle{ y=-1}\) to \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{2}}\)-ta para nie spelnia danego ukladu. załóżmy wiec ze istnieje liczba \(\displaystyle{ y \neq -1}\) dla ktorej istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie ze para \(\displaystyle{ (x,y)}\) spelnia ten uklad.
wtedy
\(\displaystyle{ 0 \le y^3(9y^9+12y^6+9y^3+2y+4)=y^3( y(9y^8+12y^5+y^4+4y^2-2)-y^5+5y^3+4)= y^3(-y^5+5y^3+4)}\)
\(\displaystyle{ 1 \ge xy= \frac{y^4}{2}}\) wiec \(\displaystyle{ y\in <- \sqrt{2}; \sqrt{2}>}\). w tym przedziale funkcja \(\displaystyle{ f(y)=-y^5+5y^3+4}\) jest rosnaca i tu pomysłów brak...
zad. 2.
wezmy jedna jednostke pierwszego stopu i \(\displaystyle{ n}\) jednostek drugiego stopu. w pierwszej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) jednostek cyny. w drugiej probce mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) jednostek miedzi i \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) jednostek cyny.
aby spelniona byla postulowana zaleznosc musi zachodzic rownosc
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{3}+ \frac{3}{8}n }{ \frac{2}{3}+ \frac{5}{8}n }= \frac{5}{9}}\). po elementarnych przeksztalceniach dostaniemy \(\displaystyle{ n= \frac{4}{3}}\) wiec stopy nalezy wziac w stosunku \(\displaystyle{ 3:4}\)
zad. 3.
\(\displaystyle{ u_1=1}\)
\(\displaystyle{ u_2=5}\)
\(\displaystyle{ u_3=25}\)
\(\displaystyle{ u_4=57}\)
\(\displaystyle{ u_5=121}\)
\(\displaystyle{ u_6=249}\)
\(\displaystyle{ u_7=505}\)
\(\displaystyle{ u_8=1017}\)
\(\displaystyle{ u_9=2041}\)
\(\displaystyle{ u_10=4089}\)
\(\displaystyle{ u_11=8185}\)
\(\displaystyle{ u_12=16377}\)
ciag jest rosnacy wiec szukana wartość \(\displaystyle{ n=11}\)
zad. 4.
a)
funkcja rosnaca jest roznowartosciowa, wiec 25 roznych wartosci ktore ona przyjmuje jednoznacznie ja wyznacza. wobec tego szukane prawdopodobienstwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{ {31 \choose 25} }{31^{25}}= \frac{23751}{31^{24}}}\)
b)
istnieje \(\displaystyle{ {25 \choose k}9^{25-k}}\) funkcji ktore maksimum \(\displaystyle{ =10}\) przyjmuja dla \(\displaystyle{ k}\) argumentow.
korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k}9^{25-k}=9^{25}(\sum_{k=0}^{25} {25 \choose k}9^{-k}-1)=9^{25}(( \frac{1}{9}+1)^{25}-1)=10^{25}-9^{25}}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ P= \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)
dwie wartosci mozna wybrac na \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=465}\) sposobow. funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez wstazanie argumentow dla ktorych przyjmuje ona mniejsza wartosc (z tych dwoch), co mozna zrobic na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} =2^{25}-2}\) sposoby. wobec tego
\(\displaystyle{ P= \frac{465(2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad. 5.
\(\displaystyle{ f( \frac{1}{x})+4f(x)= \frac{3}{x}}\)
wstawiajac \(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(x)+4f( \frac{1}{x})=3x}\). mnozac stronami pierwsza rownosc przez 4 i odejmujac od niej druga rownosc dostajemy \(\displaystyle{ f(x)= \frac{4}{5x}- \frac{x}{5}}\). łatwo sprawdzic ze funkac ta spelnia warunki zadania.