Matematyka.pl

Zadanie 1)
Niech \(\displaystyle{ x, y\in R}\) będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(xy-\frac{1}{2})^2}\leq\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\), więc z warunków zadania dostajemy \(\displaystyle{ 2x^2+1\geq 2x^2+\sqrt{xy-x^2y^2}+\frac{1}{2}=4x^2+y^6+y^3+\frac{1}{2}=}\)
\(\displaystyle{ =(2x-y^3)^2+4xy^3+y^3+\frac{1}{2}\geq4xy^3+y^3+\frac{1}{2}\geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}\geq
2x^2+1}\) Skoro pierwsze i ostatnie wyrażenie w ciągu nierówności są sobie równe, więc wszystkie nierówności słabe okazują się być równościami, a stąd w szczególności mamy:
\(\displaystyle{ (2x-y^3)^2=0}\), tj. \(\displaystyle{ 2x=y^3}\) oraz podobnie \(\displaystyle{ 2x=y}\). Gdyby więc \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ y=0}\), to \(\displaystyle{ x=y=0}\), ale para \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) nie spełnia warunków zadania, co wynika z bezpośredniego sprawdzenia. Równości \(\displaystyle{ 2x=y^3}\) i \(\displaystyle{ 2x=y}\) dzielimy stronami, otrzymując \(\displaystyle{ y^2=1}\) i stąd \(\displaystyle{ (x,y)=(\frac{1}{2}, 1)}\) albo \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2}, -1})}\). Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że jedyną parą liczb spełniającą warunki zadania jest \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2}, -1)}\).

Zadanie 2)
Pierwszy stop zawiera \(\displaystyle{ \frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}}\) miedzi, zaś drugi
\(\displaystyle{ \frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}}\). Mieszanina tych stopów w stosunku \(\displaystyle{ x:y}\) zawiera zatem \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x + \frac{3}{8}y}{x+y}}\) miedzi w stosunku do masy mieszaniny.
Podobnie wyliczamy, że mieszanina ta zawiera
\(\displaystyle{ \frac{\frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}{x+y}}\) cynku w stosunku do masy mieszaniny. \(\displaystyle{ x, y}\) mają być takie, żeby
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\frac{1}{3}x + \frac{3}{8}y}{x+y}}{\frac{\frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}{x+y}}=\frac{5}{9}}\) co równoważne jest kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}x + \frac{3}{8}y}{\frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}=\frac{5}{9}}\)
\(\displaystyle{ 3x+\frac{27}{8}y=\frac{10}{3}x+\frac{25}{8}y}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x=\frac{2}{8}y}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\)
Zatem szukany stosunek to 3:4.

Zadanie 3)
Określmy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ a_n=u_n+7}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\). Mamy \(\displaystyle{ a_1=1+7=8}\) oraz
\(\displaystyle{ a_{n+1}=u_{n+1}+7=2u_{n}+14=2(u_{n}+7)=2a_n}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\). Łatwo przez indukcję dowodzimy stąd, że \(\displaystyle{ a_n=2^{n+2}}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\), czyli \(\displaystyle{ u_n=a_n-7=2^{n+2}-7}\). Szukamy zatem największej liczby \(\displaystyle{ n}\), dla której \(\displaystyle{ 2^{n+2}-7<9001}\), tj. \(\displaystyle{ 2^{n+2}<9008}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 2^{11+2}=8192<9008}\), ale już \(\displaystyle{ 2^{12+2}=2*8192>16000>9008}\), zatem największe takie \(\displaystyle{ n}\) wynosi 11.

Zadanie 4)
Policzmy najpierw liczbę wszystkich funkcji z pierwszego zbioru w drugi. \(\displaystyle{ f(i)}\) dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq 25}\) wybierami na 31 sposobów, czyli funkcji jest \(\displaystyle{ {31}^{25}}\).

a) Funkcja rosnąca jest różnowartościowa. Każda taka funkcja rosnąca \(\displaystyle{ f}\) wyznacza więc pewien 25-elementowy podzbiór zbioru 31-elementowego będący zbiorem jej wartości. Jednocześnie zauważmy, że zbiór wartości w tym przypadku jednoznacznie określa funkcję \(\displaystyle{ f}\), gdyż dane wartości funkcji możemy przypisać do argumentów \(\displaystyle{ 1,2,...,25}\) w sposób rosnący na dokładnie jeden sposób (tj. ponumerować je w porządku rosnącym). Podzbiorów 25-elementowych zbioru 31-elementowego, a co za tym idzie również szukanych funkcji, jest \(\displaystyle{ {31 \choose 25}}\), czyli prawdopodobieństwo wylosowania takiej funkcji wynosi \(\displaystyle{ \frac{{31 \choose 25}}{31^{25}}}\).

b) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełniająca ten warunek to funkcja przyjmująca wartości w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,...,10\}}\), ale nie będąca funkcją przyjmującą wartości w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,...,9\}}\). Tych pierwszych jest \(\displaystyle{ 10^{25}}\), a tych drugich \(\displaystyle{ 9^{25}}\), zatem prawdopodobieństwo wylosowania funkcji o danej własności wynosi \(\displaystyle{ \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)

c) Funkcji przyjmujących wartości w ustalonym podzbiorze dwuelementowym zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,31\}}\) jest \(\displaystyle{ 2^{25}}\). Jeśli policzymy sumę liczby funkcji o wartościach w danym dwuelementowym podzbiorze po wszystkich dwuelementowych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,31\}}\), to otrzymamy \(\displaystyle{ {31 \choose 2}2^{25}}\), przy czym każdą funkcję o dwuelementowym zbiorze wartości policzymy dokładnie raz, zaś każdą z 31 funkcji stałych (funkcji o jednoelementowym zbiorze wartości) policzymy tyle razy, ile jest par zawierających jej ustaloną wartość, tzn. 30 razy (bo ustalona wartość występuje w parach ze wszystkimi pozostałymi). Funkcji o dwuelementowym zbiorze wartości jest więc dokładnie \(\displaystyle{ {31 \choose 2}2^{25}-30*31=\frac{31*30}{2} 2^{25}-30*31=30*31(2^{24}-1)}\) a prawdopodobieństwo wylosowania takiej funkcji wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{30*31(2^{24}-1)}{{31}^{25}}=\frac{30(2^{24}-1)}{{31}^{24}}}\)

Zadanie 5)
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją spełniającą warunki zadania. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie dowolną niezerową liczbą rzeczywistą. Podstawiając do warunków zadania \(\displaystyle{ x:=a}\), a następnie \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{a}}\), otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ f(a)+4f(\frac{1}{a})=3a}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{a})+4f(a)=\frac{3}{a}}\)
Mamy stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) rzeczywistego różnego od zera:
\(\displaystyle{ -15f(a)=f(a)+4f(\frac{1}{a})-4(f(\frac{1}{a})+4f(a))=3a-\frac{12}{a}}\)
\(\displaystyle{ f(a)=\frac{4}{5a}-\frac{a}{5}}\)
Bezpośrednie sprawdzenie wykazuje, że funkcja określona wzorem

\(\displaystyle{ f(a)=\frac{4}{5a}-\frac{a}{5}}\) dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\) faktycznie spełnia warunki zadania.

Oceny:
zadanie 1.: 6
zadanie 2.: 6
zadanie 3.: 5
zadanie 4.: 6
zadanie 5.: 6

Zadanie 3.

Łatwo przez indukcję dowodzimy stąd, że \(\displaystyle{ a_n=2^{n+2}}\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\), czyli \(\displaystyle{ u_n=a_n-7=2^{n+2}-7}\).

Wypadałoby to rozumowanie indukcyjne przeprowadzić.


Rozwiązania zadań są godne pochwały - bardzo przejrzyste rozumowania z właściwymi obliczeniami.

Nie zgadzam się z oceną za zadanie 3., proponuję 6. Widać, że ta osoba po prostu uznała ten fakt za pomijalnie łatwy i tak moim zdaniem jest w rzeczywistości (praktycznie to samo mówi rozwiązanie wzorcowe, tylko tam zamiast indukcji zauważono ciąg geometryczny). Co innego gdyby jednym zdaniem powiedziała "banalnie zauważyć, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+2}-7}\), dowód pomijam". Całe rozumowanie jest moim zdaniem jasno przedstawione i ten wzór nie był "strzałem", do którego ta osoba nie potrafiła przeprowadzić dowodu.

Jeszcze inaczej: często w rozwiązaniach "olimpijskich" zadań geometrycznych przewija się słowo "zauważmy, że oczywiście zachodzi: ...". Właśnie w zadaniach geometrycznych najtrudniej zauważyć tą granicę - czy dana osoba po prostu nie umiała tego twierdzenia udowodnić i napisała "zauważmy, że..." bez dowodu, czy może takie coś na prawdę było banalne. Tu raczej czarno na białym widać, że fakt, na który ta osoba powołała się bez dowodu, był zupełnie banalny. Rozwiązania są, jak wspomniałeś, bardzo przejrzyste.

OK?