Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:25

Zadanie 1. Z: \(a_{1}, a_{2},...,a _{15} \in Z\). \(1 <a_{1} < a_{2}<...<a _{15} <2009\). Liczby \(a_{1}, a_{2},...,a _{15}\) są parami względnie pierwsze. T: Co najmniej jedna z liczb \(a_{1}, a_{2},...,a _{15}\) jest pierwsza. D: Udowodnijmy to nie wprost (załóżmy, że żadna z liczb \(a_{1}, a_{2},...,a _{15}\) nie jest pierwsza). Liczby \(a_{1}, a_{2},...,a _{15}\) są najbardziej optymalne wtedy, gdy są kwadratami liczb pierwszych (gdyż wówczas są niezbyt duże i mają tylko jeden dzielnik pierwszy, czyli nie zajmują dzielników, które mogłyby dzielić inne liczby). Wypiszmy sobie 15 początkowych kwadratów liczb pierwszych: 4 9 25 49 121 169 289 361 529 841 961 1369 1681 1849 2209 Jak widać, największy kwadrat (\(47*47=2209\)) jest większy od 2009, a zatem doszliśmy do sprzeczności, czyli co najmniej jedna z liczb \(a_{1}, a_{2},...,a _{15}\) musi być pierwsza. Zadanie 2. Dane: W trójkącie \(\Delta ABC\) punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(E\) jest takim punktem należącym do odcinka \(BC\), że: \(|BE|=2 \cdot |EC|\) oraz \(\angle ADC = \angle BAE\). Szukane: Znajdź miarę kąta \(\angle BAC\). Rozwiązanie: Oznaczmy przez \(P\) punkt przecięcia prostych \(CD\) i \(AE\). Wówczas trójkąt \(ADP\) jest równoramienny. Oznaczmy spodek wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok \(AD\) przez \(S\). Prosta \(BP\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(F\). Z twierdzenia Cevy (którego dowód znajduje się na Wikipedii) wyliczamy, że \(AF\)=\(2*CF\). Następnie z twierdzenia Van Aubela dla trójkąta (którego dowód także znajduje się na Wikipedii) wyliczamy, że \(DP=PC\). Zatem trójkąt \(ADC\) jest podobny do trójkąta \(SDP\) (cecha bkb), z czego wynika, że \(\sphericalangle DSP\) = \(\sphericalangle DAC\), a zatem, skoro wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokośc opuszczona na podstawę jest do niej prostopadła, to wiemy także, że \(90= \sphericalangle DSP = \sphericalangle DAC\). A zatem kąt \(BAC\), którego miara jest równa mierze kąta \(DAC\) jest prosty. Sprawdzenie: W trójkącie \(\Delta ABC\) punkt D jest środkiem boku AB, a punkt E jest takim punktem należącym do odcinka BC, że: \(|BE|=2 \cdot |EC|\) Wiemy ponadto, że kąt \(BAC\) jest prosty. Udowodnij, że \(\angle ADC = \angle BAE\). Oznaczmy bok \(AB\) przez \(a\), BC przez \(b\), a \(AC\) przez \(c\). Wiemy, że kąty ADC i BAE są ostre. \(\tg (ADC)= \frac{c}{ \frac{a}{2} }= \frac{2c}{a}\). Z twierdzenia Talesa (którego dowód znajduje się na wikipedii) wiemy, że wysokośc trójkąta \(ABE\) opuszczona na bok AB, której spodek oznaczymy przez \(G\) ma długośc \(\frac{2c}{3}\) i że długośc odcinka AG wynosi \(\frac{a}{3}\). A zatem \(\tg (BAE) = \frac{2c}{ 3*\frac{a}{3} }= \frac{2c}{a}\). A skoro tangensy dwóch kątów ostrych są równe, to także ich miary są równe. Odpowiedź: Miara kąta \(BAC\) wynosi \(90\) stopni. Zadanie 3. Z: \(a,b,c \in R\) T: \((a+b)(a+c) \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}\) D: Oznaczmy przez \(x,y\) odpowiednio liczby \(\sqrt{a(a+b+c)}\) i \(\sqrt{bc}\). \((x-y)^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+y^2 \ge 2xy\), co jest równoznaczne z \(a(a+b+c)+bc \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}\), czyli \(a^2+ab+ac+bc \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)} \Rightarrow (a+b)(a+c) \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}\), C.B.D.O Zadanie 4. Z: \(x _{1},x _{2},...,x _{2000} \in Z\) \(x_{n+1}=x_{n}+1\). T: Wykazać, że nie istnieje takie \(m \in Z\), że \(\sum_{n=1}^{2000} x_{n}=m^2\). D: \(\sum_{n=1}^{2000} x_{n}=2000*x_{1}+ \frac{1999*2000}{2}=2000(x_{1}+ \frac{1999}{2})=1000(2*x_{1}+1999).\) Aby liczba \(1000(2*x{1}+1999)\) była kwadratem, to musi istnieć takie \(k \in Z\), że \(2*x_{1}+1999=k^2*10\). Jednakże liczba \(2*x{1}+1999\) jest nieparzysta, więc nie istnieje takie \(k \in Z\), a zatem liczba \(\sum_{n=1}^{2000} x_{n}\) nie może być kwadratem liczby całkowitej, C.B.D.O Zadanie 5. dane: \(x,y,k \in R\). \(\begin{cases}x^2-y^2 = 0 \\ (x-k)^2+y^2=1 \end{cases}\) szukane: Dla jakich k rzeczywistych ten układ równań ma dokładnie 3 pary rozwiązań w liczbach rzeczywistych (x,y)? rozwiązanie: \(x^2-y^2 = 0 \Rightarrow x^2=y^2\). \((x-k)^2+y^2=1 \Rightarrow y^2=1-(x-k)^2\). Wykres tej funkcji jest okręgiem o promieniu 1 i środku w punkcie \([-k,0]\). Wykres funkcji \(y^2=x^2\) to dwie proste przechodzące przez punkt \([0,0]\), nachylone pod kątem 45 stopni do osi OX i prostopadłe do siebie. Proste te mogą mieć \(4,3,2\) lub \(0\) punktów wspólnych z okręgiem. Aby miały 3 punkty wspólne, to te punkty wspólne muszą się znajdować w punktach \([0,0],[1,1],[-1,-1]\) lub \([0,0],[1,-1],[-1,1]\). W takim wypadku jedyne k, dla których punkty wspólne są właśnie w tamtych miejscach, to 1 i -1. Sprawdzenie 1* \(k=1\) \(x^2=y^2\) \((x-1)^2+y^2=1 \Leftrightarrow x^2-2x+y^2=0 \Rightarrow 2x^2=2x \Rightarrow x^2=x\). To równanie ma następujące rozwiązania: 1.\(x=0, y=0\) 2.\(x=1,y=-1\) 3.\(x=1,y=1\) 2* \(k=-1\) \(x^2=y^2\) \((x+1)^2+y^2=1 \Leftrightarrow x^2+2x+y^2=0 \Rightarrow 2x^2=-2x \Rightarrow x^2=-x\). To równanie ma następujące rozwiązania: 1.\(x=0, y=0\) 2.\(x=-1,y=-1\) 3.\(x=-1,y=1\) Odpowiedź: \(k\) należy do zbioru \({1,-1}\).

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25

Post autor: Sylwek » 11 lip 2009, o 17:39

Oceny: Zadanie 1 - 2 Zadanie 2 - 6 Zadanie 3 - 6 Zadanie 4 - 6 Zadanie 5 - 6 -- Komentarze: Ogólne: Za bardzo posługujesz się schematem. Nie powinieneś pisać: zadanie, teza, dowód czy tam dane, szukane. Po prostu pisz sam dowód. Przy popularnych (względnie) twierdzeniach typu twierdzenie Talesa czy Cevy nie musisz się odwoływać do dowodów. Poza tym Wikipedia nie gwarantuje poprawności dowodu, więc na OM(G) się na nią nie powołuj, w ogóle nie warto się powoływać na jakieś hardkorowe twierdzenia. Te dwa co wymieniłeś powyżej są typowo olimpijskie, więc możesz je stosować bez dowodu. Zadanie 1: Dwójka za dryfowanie wokół dowodu (chociaż równie dobrze mogłoby być 0). Intuicja poprawna, brak odpowiedniego sformułowania myśli. Wystarczyło napisać "z zasady szufladkowej istnieje liczba, która jest iloczynem liczb pierwszych, wśród których każda jest nie mniejsza niż piętnasta (licząc od najmniejszej) liczba pierwsza, czyli jest ona \(\ge 47^2 = 2209\) - sprzeczność". Sformułowanie typu "liczby [...] najbardziej optymalne" nie powinno się znaleźć w dowodzie matematycznym. Zadanie 2: Uwaga do rozumowania, zapomniałeś wspomnieć, że \(AS=DS\), ale to w miarę oczywiste. Teraz poważna uwaga do zadania - miałeś udowodnić implikację (warunki zadania) -> (teza). Udowodniłeś poprawnie. Część zatytułowaną "sprawdzenie" poświęciłeś dowodzeniu implikacji (teza) -> (warunki zadania). Nie wczytywałem się, czy udowodniłeś poprawnie. Trzymaj się tego, co każą zrobić w zadaniu. Nie bądź nadgorliwy. W takich zadaniach praktycznie nigdy nie wykonuje się sprawdzenia, bo w końcu dowód jest zarazem drogą myślową. Sprawdzeniem jest po prostu kilkukrotne przejrzenie tego dowodu. Sprawdzenie wykonuje się, jak otrzymujesz jakieś wyniki liczbowe w równaniach/układach równań. Nie wszystkie twierdzenia dają się odwrócić, to akurat tak, ale np. \(a|4 \Rightarrow a|2\) jest ok, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 7 lipca 2009, 13:25

Post autor: scyth » 14 lip 2009, o 20:41

OK

ODPOWIEDZ