Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:20

1. Niech \(0 \le a \le 1\). Znajdź wszystkie funkcje ciągłe \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+\) spełniające trzy następujące warunki:
\(\int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2\)
Rozwiązanie: Pokażemy, że nie istnieje funkcja spełniająca założenia zadania. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że \(f\) spełnia założenia zadania. Zauważmy, że z założeń tych wynika równość: \(\int_{0}^{1}(x-a)^{2}f(x)\mbox{d}x = \int_{0}^{1}x^{2}f(x)\mbox{d} x - 2a\int_{0}^{1} xf(x)\mbox{d} x + a^{2}\int_{0}^{1}f(x) \mbox{d} x =\\ = a^{2} - 2a^{2} + a^{2} = 0.\) Ponieważ \(f(x)\ge 0\) oraz \((x - a)^{2}\ge 0\) dla \(x\in [0,1],\) to \((x-a)^{2}f(x) \ge 0\) dla \(x\in [0,1].\) Ponadto funkcja \(F:[0,1]\ni x \mapsto (x-a)^{2}f(x)\in \mathbb{R}_{+}\) jest funkcją ciągłą jako iloczyn funkcji ciągłych. Zatem otrzymana wcześniej równość \(\int_{0}^{1}F(x) \mbox{d}x = 0\) pociągą \(F\equiv 0\) (bo \(F\) przyjmuje wartości nieujemne i jest ciągła; gdyby istniał punkt \(x_{0}\in [0,1]\) taki, że \(F(x_{0}) \neq 0,\) to \(F(x_{0}) > 0\) i z ciągłości \(F\) istniałaby \(\delta > 0,\) taka, że dla \(x\in [x_{0}-\delta, x_{0} + \delta]\subset [0,1]\) byłoby \(F(x) \ge \frac{F(x_{0})}{2} > 0,\) skąd \(\int_{0}^{1}F(x)\; \mbox{d}x \ge 2\delta\cdot \frac{F(x_{0})}{2} > 0\) - sprzeczność). Zatem dla każdego \(x\in [0,1]\) mamy \((x-a)^{2}f(x) = 0,\) czyli dla \(x\neq a\) jest \(f(x) = 0,\) z ciągłości \(f\) również \(f(a) = 0,\) a zatem: \(1 = \int_{0}^{1}f(x)\; \mbox{d}x = \int_{0}^{1}0\; \mbox{d}x = 0\) -sprzeczność, kończąca dowód.
2. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby
\(23^{23^{23^{23}}}\)
w systemie dziesiętnym
Rozwiązanie: Szukamy \(r\in \{0,\ldots, 9\}\) takiego, że \(23^{23^{23^{23}}} \equiv r\pmod{10}.\) Mamy: \(23\equiv 3\pmod{10}\) oraz \(3^{4} = 81\equiv 1\pmod{10}.\) Ponadto \(23\equiv -1\pmod{4},\) stąd \(23^{23^{23}}\equiv (-1)^{23^{23}}\equiv -1\pmod{4},\) gdyż \(23^{23}\) jest liczbą nieparzystą. Czyli \(23^{23^{23}} = 4l - 1\) dla pewnego \(l \ge 1\) naturalnego. Wobec wspomnianych wcześniej faktów pociąga to: \(23^{23^{23^{23}}}\equiv 3^{4l-1} \equiv 3^{4(l-1) + 3}\equiv (3^{4})^{l-1}\cdot 3^{3}\equiv 1\cdot 27\equiv 7\pmod{10}.\) Czyli ostatnią cyfrą w zapisie dziesiętnym podanej liczby jest \(7.\)
3. Niech dana będzie macierz \(A = (a_{ij})_{n \times n}\) o rzeczywistych nieujemnych elementach takich, że:
\(\sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \quad (1 \le i \le n)\)
Udowodnij, że moduł żadnej wartości własnej macierzy \(A\) nie jest większy niż \(1\).
Rozwiązanie: Niech \(\{e_{1},\ldots, e_{n}\}\) będzie bazą kanoniczną \(\mathbb{C}^{n}\) i niech \(f: \mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{n}\) będzie endomorfizmem liniowym o macierzy \(A\) w bazie kanonicznej. Na \(\mathbb{C}^{n}\) rozpatrujemy normę maksimum: \(\left\|\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}\right\| := \max_{i=1,\ldots, n}\{|v_{i}|\}\) dla dowolnych \(v_{i}\in \mathbb{C}, \ i=1,\ldots, n.\) Niech \(\lambda\) będzie dowolną wartością własną \(A,\) niech \(w\) będzie wektorem własnym \(f\) dla wartości \(\lambda.\) Mamy \(f(w) = \lambda w.\) Przyjmijmy \(u:= \tfrac{1}{\|w\|}\cdot w\) (\(\|w\|\neq 0,\) gdyż z definicji wektor własny jest niezerowy). Wtedy \(\|u\| = \tfrac{\|w\|}{\|w\|}\) oraz \(f(u) = f\left(\tfrac{1}{\|w\|}\cdot w\right) = \tfrac{1}{\|w\|}\cdot f(w) = \lambda \cdot \tfrac{1}{\|w\|}\cdot w = \lambda u.\) Stąd \(\|f(u)\| = \|\lambda u\| = |\lambda|\cdot\|u\| = |\lambda|\cdot 1 = |\lambda|.\) Zapisując \(u = \sum_{i=1}^{n}u_{i}e_{i}\) otrzymujemy, korzystając z założenia, że \(a_{ij} in [0,+infty),\) oraz \(\sum_{j=1}^{n}a_{ij} = 1, \ 1 \le i \le n:\) \(|\lambda| = \|f(u)\| = \left\|A\cdot \begin{bmatrix}u_{1}\\ \vdots\\ u_{n}\end{bmatrix}\right\| = \max_{i=1,\ldots,n}\left\{\left|\sum_{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right|\right\}\le \max_{i=1,\ldots, n}\left\{\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|\right)\cdot \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}|\right\} = \\ =\max_{i=1,\ldots, n}\left\{1 \cdot \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}|\right\} = \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}| = \|u\| = 1\) co należało pokazać. (pojawiający się w przeliczeniu powyżej wektor kolumnowy traktujemy zgodnie z powszechną konwencją jako wektor \(\sum_{i=1}^{n}u_{i}e_{i},\) normę wektora kolumnowego definiujemy jako normę odpowiadającemu mu w ten sposób wektorowi \(\mathbb{C}^{n}\)).
4. Udowodnij, że jeśli rząd elementu \(a\) grupy abelowej \(A\) jest względnie pierwszy z \(n\), to równanie \(nx= a\) ma rozwiązanie w \(A\).
Rozwiązanie: Niech \(r\) będzie rzędem \(a\) w \(A\) (ze skończoności \(A\) wynika, że \(r\) jest skończony). Ponieważ liczby całkowite \(n,r\) są względnie pierwsze, to z tożsamości Bezout wynika istnienie liczb całkowitych \(\alpha, \beta\) takich, że: \(\alpha n + \beta r = 1,\) czyli \(n\alpha = 1 - \beta r.\) Przyjmując \(x = \alpha a\) dostajemy \(nx = n(\alpha a) = (n\alpha) a = (1 - \beta r)a = a - \beta(ra) = a - \beta 0 = a,\) czyli tak obrane \(x\in A\) jest rozwiązaniem zadanego równania.
5.Czy można skonstruować takie trzy kostki sześcienne, że \(P(A>B)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(B>C)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(C>A)>\tfrac{1}{2}\), gdzie \(P(X>Y)\) oznacza, że na kostce \(X\) wypadnie większa liczba niż na kostce \(Y\)? Podaj przykład lub wykaż, że nie jest to możliwe.
Rozwiązanie: Podamy przykład takiej konstrukcji: Ścianom kostki \(A\) przypisujemy liczby \(2, 3, 4, 13, 15, 16.\) Ścianom kostki \(B\) przypisujemy liczby \(1, 10, 11, 12, 13, 14.\) Ścianom kostki \(C\) przypisujemy liczby \(5, 6, 7, 8, 9, 15.\) Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(A > B\) jest \(3\cdot 1 + 1\cdot 4 + 2\cdot 6 = 19\) (pierwszy składnik \(A = 2,3,4;\ B = 1\), drugi składnik \(A = 13;\ B = 1, 10, 11, 12,\) trzeci składnik \(A = 15, 16; \ B = 1, 10, 11, 12, 13, 14\)) Wszystkich możliwych wyników rzutów dwiema sześciennymi kostkami jest \(36,\) więc \(P(A > B) = \frac{19}{36} > \frac{1}{2}.\) Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(B > C\) jest \(5\cdot 5 = 25\) (\(B = 10, 11, 12, 13, 14; \ C = 5, 6, 7, 8, 9\)) Stąd \(P(B > C) = \frac{25}{36} > \frac{1}{2}.\) Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(C > A\) jest \(5\cdot 3 + 1\cdot 4 = 19\) (pierwszy składnik \(C = 5,6,7,8,9; A = 2, 3, 4,\) drugi składnik \(C = 15, A = 2, 3, 4, 13\)) Zatem \(P(C > A) = \frac{19}{36} > \frac{1}{2}.\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: scyth » 12 lip 2009, o 21:00

1. 6 2. 6 3. 6 4. 6 5. 6

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: lukasz1804 » 14 lip 2009, o 19:19

Zgadzam się z ocenami zadań, choć w zadaniu 3. można by wymagać powoływania się na twierdzenia dotyczące kongruencji, nie poprzestając na rachunkach.

ODPOWIEDZ