Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:20

1. Niech \(\displaystyle{ 0 \le a \le 1}\). Znajdź wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające trzy następujące warunki:
\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; \mbox d x = 1, \; \int_0^1 x f(x) \; \mbox d x = a, \; \int_0^1 x^2 f(x) \; \mbox d x = a^2}\)
Rozwiązanie:

Pokażemy, że nie istnieje funkcja spełniająca założenia zadania.
Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że \(\displaystyle{ f}\) spełnia założenia zadania.

Zauważmy, że z założeń tych wynika równość:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}(x-a)^{2}f(x)\mbox{d}x = \int_{0}^{1}x^{2}f(x)\mbox{d} x - 2a\int_{0}^{1} xf(x)\mbox{d} x + a^{2}\int_{0}^{1}f(x) \mbox{d} x =\\
= a^{2} - 2a^{2} + a^{2} = 0.}\)


Ponieważ \(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ (x - a)^{2}\ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1],}\) to \(\displaystyle{ (x-a)^{2}f(x) \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1].}\)
Ponadto funkcja \(\displaystyle{ F:[0,1]\ni x \mapsto (x-a)^{2}f(x)\in \mathbb{R}_{+}}\) jest funkcją ciągłą jako iloczyn funkcji ciągłych.

Zatem otrzymana wcześniej równość \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}F(x) \mbox{d}x = 0}\) pociągą \(\displaystyle{ F\equiv 0}\)
(bo \(\displaystyle{ F}\) przyjmuje wartości nieujemne i jest ciągła;
gdyby istniał punkt \(\displaystyle{ x_{0}\in [0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ F(x_{0}) \neq 0,}\) to \(\displaystyle{ F(x_{0}) > 0}\) i z ciągłości \(\displaystyle{ F}\) istniałaby \(\displaystyle{ \delta > 0,}\) taka, że dla
\(\displaystyle{ x\in [x_{0}-\delta, x_{0} + \delta]\subset [0,1]}\)
byłoby
\(\displaystyle{ F(x) \ge \frac{F(x_{0})}{2} > 0,}\)
skąd
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}F(x)\; \mbox{d}x \ge 2\delta\cdot \frac{F(x_{0})}{2} > 0}\)
- sprzeczność).

Zatem dla każdego \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\) mamy \(\displaystyle{ (x-a)^{2}f(x) = 0,}\) czyli dla \(\displaystyle{ x\neq a}\) jest \(\displaystyle{ f(x) = 0,}\) z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) również \(\displaystyle{ f(a) = 0,}\) a zatem:
\(\displaystyle{ 1 = \int_{0}^{1}f(x)\; \mbox{d}x = \int_{0}^{1}0\; \mbox{d}x = 0}\)
-sprzeczność, kończąca dowód.

2. Wyznacz ostatnią cyfrę liczby
\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}}\)
w systemie dziesiętnym
Rozwiązanie:

Szukamy \(\displaystyle{ r\in \{0,\ldots, 9\}}\) takiego, że \(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}} \equiv r\pmod{10}.}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ 23\equiv 3\pmod{10}}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{4} = 81\equiv 1\pmod{10}.}\)
Ponadto \(\displaystyle{ 23\equiv -1\pmod{4},}\) stąd
\(\displaystyle{ 23^{23^{23}}\equiv (-1)^{23^{23}}\equiv -1\pmod{4},}\)
gdyż \(\displaystyle{ 23^{23}}\) jest liczbą nieparzystą.
Czyli \(\displaystyle{ 23^{23^{23}} = 4l - 1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ l \ge 1}\) naturalnego.
Wobec wspomnianych wcześniej faktów pociąga to:
\(\displaystyle{ 23^{23^{23^{23}}}\equiv 3^{4l-1} \equiv 3^{4(l-1) + 3}\equiv (3^{4})^{l-1}\cdot 3^{3}\equiv 1\cdot 27\equiv 7\pmod{10}.}\)

Czyli ostatnią cyfrą w zapisie dziesiętnym podanej liczby jest \(\displaystyle{ 7.}\)

3. Niech dana będzie macierz \(\displaystyle{ A = (a_{ij})_{n \times n}}\) o rzeczywistych nieujemnych elementach takich, że:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \quad (1 \le i \le n)}\)
Udowodnij, że moduł żadnej wartości własnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) nie jest większy niż \(\displaystyle{ 1}\).
Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ \{e_{1},\ldots, e_{n}\}}\) będzie bazą kanoniczną \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n}}\) i niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{C}^{n}\to \mathbb{C}^{n}}\) będzie endomorfizmem liniowym o macierzy \(\displaystyle{ A}\) w bazie kanonicznej.

Na \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n}}\) rozpatrujemy normę maksimum:
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}\right\| := \max_{i=1,\ldots, n}\{|v_{i}|\}}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ v_{i}\in \mathbb{C}, \ i=1,\ldots, n.}\)

Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie dowolną wartością własną \(\displaystyle{ A,}\) niech \(\displaystyle{ w}\) będzie wektorem własnym \(\displaystyle{ f}\) dla wartości \(\displaystyle{ \lambda.}\)
Mamy \(\displaystyle{ f(w) = \lambda w.}\)
Przyjmijmy \(\displaystyle{ u:= \tfrac{1}{\|w\|}\cdot w}\) (\(\displaystyle{ \|w\|\neq 0,}\) gdyż z definicji wektor własny jest niezerowy).
Wtedy \(\displaystyle{ \|u\| = \tfrac{\|w\|}{\|w\|}}\) oraz \(\displaystyle{ f(u) = f\left(\tfrac{1}{\|w\|}\cdot w\right) = \tfrac{1}{\|w\|}\cdot f(w) = \lambda \cdot \tfrac{1}{\|w\|}\cdot w = \lambda u.}\)
Stąd \(\displaystyle{ \|f(u)\| = \|\lambda u\| = |\lambda|\cdot\|u\| = |\lambda|\cdot 1 = |\lambda|.}\)
Zapisując \(\displaystyle{ u = \sum_{i=1}^{n}u_{i}e_{i}}\) otrzymujemy, korzystając z założenia, że \(\displaystyle{ a_{ij} in [0,+infty),}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}a_{ij} = 1, \ 1 \le i \le n:}\)

\(\displaystyle{ |\lambda| = \|f(u)\| = \left\|A\cdot \begin{bmatrix}u_{1}\\ \vdots\\ u_{n}\end{bmatrix}\right\| = \max_{i=1,\ldots,n}\left\{\left|\sum_{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right|\right\}\le \max_{i=1,\ldots, n}\left\{\left(\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|\right)\cdot \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}|\right\} = \\ =\max_{i=1,\ldots, n}\left\{1 \cdot \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}|\right\} = \max_{j=1,\ldots, n}|u_{j}| = \|u\| = 1}\)
co należało pokazać.
(pojawiający się w przeliczeniu powyżej wektor kolumnowy traktujemy zgodnie z powszechną konwencją jako wektor \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}u_{i}e_{i},}\) normę wektora kolumnowego definiujemy jako normę odpowiadającemu mu w ten sposób wektorowi \(\displaystyle{ \mathbb{C}^{n}}\)).

4. Udowodnij, że jeśli rząd elementu \(\displaystyle{ a}\) grupy abelowej \(\displaystyle{ A}\) jest względnie pierwszy z \(\displaystyle{ n}\), to równanie \(\displaystyle{ nx= a}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ A}\).
Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie rzędem \(\displaystyle{ a}\) w \(\displaystyle{ A}\) (ze skończoności \(\displaystyle{ A}\) wynika, że \(\displaystyle{ r}\) jest skończony).
Ponieważ liczby całkowite \(\displaystyle{ n,r}\) są względnie pierwsze, to z tożsamości Bezout wynika istnienie liczb całkowitych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) takich, że:
\(\displaystyle{ \alpha n + \beta r = 1,}\) czyli \(\displaystyle{ n\alpha = 1 - \beta r.}\)
Przyjmując \(\displaystyle{ x = \alpha a}\) dostajemy
\(\displaystyle{ nx = n(\alpha a) = (n\alpha) a = (1 - \beta r)a = a - \beta(ra) = a - \beta 0 = a,}\)
czyli tak obrane \(\displaystyle{ x\in A}\) jest rozwiązaniem zadanego równania.

5.Czy można skonstruować takie trzy kostki sześcienne, że \(\displaystyle{ P(A>B)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(B>C)>\tfrac{1}{2} \ \wedge \ P(C>A)>\tfrac{1}{2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ P(X>Y)}\) oznacza, że na kostce \(\displaystyle{ X}\) wypadnie większa liczba niż na kostce \(\displaystyle{ Y}\)? Podaj przykład lub wykaż, że nie jest to możliwe.
Rozwiązanie:

Podamy przykład takiej konstrukcji:
Ścianom kostki \(\displaystyle{ A}\) przypisujemy liczby \(\displaystyle{ 2, 3, 4, 13, 15, 16.}\)
Ścianom kostki \(\displaystyle{ B}\) przypisujemy liczby \(\displaystyle{ 1, 10, 11, 12, 13, 14.}\)
Ścianom kostki \(\displaystyle{ C}\) przypisujemy liczby \(\displaystyle{ 5, 6, 7, 8, 9, 15.}\)

Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(\displaystyle{ A > B}\) jest \(\displaystyle{ 3\cdot 1 + 1\cdot 4 + 2\cdot 6 = 19}\)
(pierwszy składnik \(\displaystyle{ A = 2,3,4;\ B = 1}\),
drugi składnik \(\displaystyle{ A = 13;\ B = 1, 10, 11, 12,}\)
trzeci składnik \(\displaystyle{ A = 15, 16; \ B = 1, 10, 11, 12, 13, 14}\))
Wszystkich możliwych wyników rzutów dwiema sześciennymi kostkami jest \(\displaystyle{ 36,}\)
więc \(\displaystyle{ P(A > B) = \frac{19}{36} > \frac{1}{2}.}\)

Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(\displaystyle{ B > C}\) jest \(\displaystyle{ 5\cdot 5 = 25}\)
(\(\displaystyle{ B = 10, 11, 12, 13, 14; \ C = 5, 6, 7, 8, 9}\))
Stąd \(\displaystyle{ P(B > C) = \frac{25}{36} > \frac{1}{2}.}\)

Zdarzeń elementarnych sprzyjających \(\displaystyle{ C > A}\) jest \(\displaystyle{ 5\cdot 3 + 1\cdot 4 = 19}\)
(pierwszy składnik \(\displaystyle{ C = 5,6,7,8,9; A = 2, 3, 4,}\)
drugi składnik \(\displaystyle{ C = 15, A = 2, 3, 4, 13}\))
Zatem \(\displaystyle{ P(C > A) = \frac{19}{36} > \frac{1}{2}.}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: scyth » 12 lip 2009, o 21:00

1. 6
2. 6
3. 6
4. 6
5. 6

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Kategoria III, 4 lipca 2009, 19:43

Post autor: lukasz1804 » 14 lip 2009, o 19:19

Zgadzam się z ocenami zadań, choć w zadaniu 3. można by wymagać powoływania się na twierdzenia dotyczące kongruencji, nie poprzestając na rachunkach.

ODPOWIEDZ