Kategoria I, 8 lipca 2009, 16:22
: 10 lip 2009, o 23:15
1.
Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem:
\(\displaystyle{ a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m}
k,n,m=1,2,...}\)
gdzie \(\displaystyle{ p _{i}}\) to liczba pierwsza.
Składniki ciągu \(\displaystyle{ (a _{k})}\) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby.
Możemy założyć, że każda z liczb \(\displaystyle{ a _{k}}\) jest iloczynem dokładnie 2 liczb pierwszych, ponieważ nie istnieje potrzeba dalszego ich zwiększania. (Założenie)
Wypiszmy 30 początkowych liczb pierwszych:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113
Jeśli któraś z danych 15 liczb jest kwadratem liczby pierwszej:
Zakładamy, że wszystkie 15 liczb mają w rozkładzie na czynniki pierwsze którąś z 15 początkowych liczb pierwszych, gdyż nie ma potrzeby używać większej.
Liczba 47 jest 15-tą liczba pierwszą.
\(\displaystyle{ 47 ^{2} >2009}\)
...co jest sprzecznością.
\(\displaystyle{ 47\cdot 43 >2009
47 \cdot 41<2009}\)
Zostało 13 ,,wolnych" liczb pierwszych mniejszych od 47. Można z nich utworzyć max. 13 różnych liczb parami względnie pierwszych (4,9,25,49,121 itd.) Na 15 liczbę trzbe użyć 16-tej liczby pierwszej, jest nią 53.
53*43>2009 (-)
53*37<2009 (+)
Ale teraz zostało 12 l. p. mniejszych od 47, można z nich utworzyć 12 liczb spełniających warunki zadania. Musimy więc rozpatrzyć liczbę 59.
59*31<2009
Kontynuując ten tok rozumowania, dochodzimy do wniosku, że żadna z danych 15 liczb nie może być kwadratem l. pierwszej. Tak więc, by stworzyć 15 liczb spełniających warunki zadania musimy się posłużyć 30 początkowymi l. pierwszymi.
\(\displaystyle{ p _{30}=113}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{113}<29}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{109}<29}\)
...
\(\displaystyle{ \frac{2009}{79}<29}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{73}<29}\)
od 73 do 113 (włącznie) jest 10 liczb pierwszych, ale od 2 do 28 jest tylko 9 liczb pierwszych. Zatem jedna z l. p. z przedziału <73,113> nie ma ,,pary" takiej, aby iloczyn tych dwóch liczb był mniejszy od 2009. Z tego wynika, że co najmniej jedna z wybranych 15 liczb musi być pierwsza.
ckd.
2.
Niech:
\(\displaystyle{ \left|AD \right| = \left|DB \right| =c
\left| AC\right| =d
\left| CD\right| =x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| EC\right| = \left|EB \right| =a}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADC= \sphericalangle BAE= \alpha
\sphericalangle CDB=180- \alpha
(3a) ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos(180- \alpha )=x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha
d ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos \alpha
(3a) ^{2} =(2c) ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)
x ^{2} =c ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ (3a) ^{2} =3c ^{2} +x ^{2}= x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha
c ^{2} =xc\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{x} = \cos \alpha}\)
Co może być prawdą tylko w sytuacji, gdy kąt BAC jest prosty, bowiem wynika to wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
4.
Zaprezentowany dowód będzie dowodem przez zaprzeczenie
\(\displaystyle{ Z: n \in \mathbb{Z}
n+(n+1)+(n+2)+...+(n+1999)=a^{2}
T: a \in \mathbb{Z}
D: 1+2+...+1999=1000 \cdot 2000-1000=199000
2000n+199000=a^{2}
1000 \cdot (2n+199)=a^{2}
5 ^{3} \cdot 2 ^{3} \cdot (2n+199)=a^{2}
2n+199=2 \cdot 5 \cdot k ^{2}
k \in \mathbb{Z}}\)
Doszedłem do sprzeczności, bowiem liczba 2n+199 jest nieparzysta, czyli nie może być iloczynem liczby całkowitej i liczby 2. Założenie jest błędne:
\(\displaystyle{ a \notin \mathbb{Z}}\)
c.k.d.
5.
\(\displaystyle{ x ^{2} =y ^{2}
(x-k) ^{2} +y ^{2}=1
\left| x\right| = \left| y\right| \Rightarrow \x=y \ \vee \-x=y
(x-k) ^{2} +x ^{2}=1}\)
Mamy równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem k. Zauważmy, że dla
\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
ilość par (x,y) spełniających ten układ równań jest parzysta, bowiem dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) istnieją dwie możliwe wartści y: x oraz -x. Jednak ilość par spełniających układ równań jest równa 3, więc \(\displaystyle{ x _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ (0-k) ^{2} +0 ^{2} =1
k ^{2}=1
k=1 \vee k=-1}\)
Dla obu k obliczmy x i y:
\(\displaystyle{ 1. (x-1) ^{2} +x ^{2} =1
2 x^{2} -2x=0
x(x-1)=0
1a. x=1;y=1;
1b. x=1;y=-1;
1c. x=y=0;
2. (x+1) ^{2} +x ^{2}=1
2x ^{2}+2x=0
x(x+1)=0
2a. x=y=0;
2b.x=-1;y=1;
2c.x=y=-1;}\)
Istotnie, dla k=1 lub k=-1 mamy po trzy rozwiązania w liczbach rzeczywistych.
Załóżmy, że każda z 15 liczb jest złożona i dana wzorem:
\(\displaystyle{ a _{k}= p_{n} \cdot ... \cdot p _{m}
k,n,m=1,2,...}\)
gdzie \(\displaystyle{ p _{i}}\) to liczba pierwsza.
Składniki ciągu \(\displaystyle{ (a _{k})}\) są parami względnie pierwsze, toteż żadne dwie z nich nie mogą mieć w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze tej samej liczby.
Możemy założyć, że każda z liczb \(\displaystyle{ a _{k}}\) jest iloczynem dokładnie 2 liczb pierwszych, ponieważ nie istnieje potrzeba dalszego ich zwiększania. (Założenie)
Wypiszmy 30 początkowych liczb pierwszych:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113
Jeśli któraś z danych 15 liczb jest kwadratem liczby pierwszej:
Zakładamy, że wszystkie 15 liczb mają w rozkładzie na czynniki pierwsze którąś z 15 początkowych liczb pierwszych, gdyż nie ma potrzeby używać większej.
Liczba 47 jest 15-tą liczba pierwszą.
\(\displaystyle{ 47 ^{2} >2009}\)
...co jest sprzecznością.
\(\displaystyle{ 47\cdot 43 >2009
47 \cdot 41<2009}\)
Zostało 13 ,,wolnych" liczb pierwszych mniejszych od 47. Można z nich utworzyć max. 13 różnych liczb parami względnie pierwszych (4,9,25,49,121 itd.) Na 15 liczbę trzbe użyć 16-tej liczby pierwszej, jest nią 53.
53*43>2009 (-)
53*37<2009 (+)
Ale teraz zostało 12 l. p. mniejszych od 47, można z nich utworzyć 12 liczb spełniających warunki zadania. Musimy więc rozpatrzyć liczbę 59.
59*31<2009
Kontynuując ten tok rozumowania, dochodzimy do wniosku, że żadna z danych 15 liczb nie może być kwadratem l. pierwszej. Tak więc, by stworzyć 15 liczb spełniających warunki zadania musimy się posłużyć 30 początkowymi l. pierwszymi.
\(\displaystyle{ p _{30}=113}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{113}<29}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{109}<29}\)
...
\(\displaystyle{ \frac{2009}{79}<29}\)
\(\displaystyle{ \frac{2009}{73}<29}\)
od 73 do 113 (włącznie) jest 10 liczb pierwszych, ale od 2 do 28 jest tylko 9 liczb pierwszych. Zatem jedna z l. p. z przedziału <73,113> nie ma ,,pary" takiej, aby iloczyn tych dwóch liczb był mniejszy od 2009. Z tego wynika, że co najmniej jedna z wybranych 15 liczb musi być pierwsza.
ckd.
2.
Niech:
\(\displaystyle{ \left|AD \right| = \left|DB \right| =c
\left| AC\right| =d
\left| CD\right| =x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left| EC\right| = \left|EB \right| =a}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ADC= \sphericalangle BAE= \alpha
\sphericalangle CDB=180- \alpha
(3a) ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos(180- \alpha )=x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha
d ^{2} =x ^{2} +c ^{2} -2xc\cos \alpha
(3a) ^{2} =(2c) ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)
x ^{2} =c ^{2} +d ^{2} -2cd\cos (\sphericalangle BAC)}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ (3a) ^{2} =3c ^{2} +x ^{2}= x ^{2} +c ^{2} +2xc\cos \alpha
c ^{2} =xc\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{x} = \cos \alpha}\)
Co może być prawdą tylko w sytuacji, gdy kąt BAC jest prosty, bowiem wynika to wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
4.
Zaprezentowany dowód będzie dowodem przez zaprzeczenie
\(\displaystyle{ Z: n \in \mathbb{Z}
n+(n+1)+(n+2)+...+(n+1999)=a^{2}
T: a \in \mathbb{Z}
D: 1+2+...+1999=1000 \cdot 2000-1000=199000
2000n+199000=a^{2}
1000 \cdot (2n+199)=a^{2}
5 ^{3} \cdot 2 ^{3} \cdot (2n+199)=a^{2}
2n+199=2 \cdot 5 \cdot k ^{2}
k \in \mathbb{Z}}\)
Doszedłem do sprzeczności, bowiem liczba 2n+199 jest nieparzysta, czyli nie może być iloczynem liczby całkowitej i liczby 2. Założenie jest błędne:
\(\displaystyle{ a \notin \mathbb{Z}}\)
c.k.d.
5.
\(\displaystyle{ x ^{2} =y ^{2}
(x-k) ^{2} +y ^{2}=1
\left| x\right| = \left| y\right| \Rightarrow \x=y \ \vee \-x=y
(x-k) ^{2} +x ^{2}=1}\)
Mamy równanie kwadratowe z niewiadomą x i parametrem k. Zauważmy, że dla
\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
ilość par (x,y) spełniających ten układ równań jest parzysta, bowiem dla każdego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) istnieją dwie możliwe wartści y: x oraz -x. Jednak ilość par spełniających układ równań jest równa 3, więc \(\displaystyle{ x _{1} =0}\)
\(\displaystyle{ (0-k) ^{2} +0 ^{2} =1
k ^{2}=1
k=1 \vee k=-1}\)
Dla obu k obliczmy x i y:
\(\displaystyle{ 1. (x-1) ^{2} +x ^{2} =1
2 x^{2} -2x=0
x(x-1)=0
1a. x=1;y=1;
1b. x=1;y=-1;
1c. x=y=0;
2. (x+1) ^{2} +x ^{2}=1
2x ^{2}+2x=0
x(x+1)=0
2a. x=y=0;
2b.x=-1;y=1;
2c.x=y=-1;}\)
Istotnie, dla k=1 lub k=-1 mamy po trzy rozwiązania w liczbach rzeczywistych.