Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:09

Zadanie 1. Rozwiązanie: Oznaczmy liczby z treści zadania \(a_{1},a_{2},...,a_{15}\) Podzielmy liczby pierwsze na 2 grupy: Grupa \(I\): Liczby pierwsze z przedziału \(<2,43>\) Grupa \(II\): Liczby pierwsze z przedziału \(<47,\infty)\) Oczywiście nie ma liczb pierwszych w przedziale \((43,47)\) Zauważmy, że \(47^2=2209> 2009\), co oznacza z każda z tych 15 liczb ma w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze co najwyżej jeden czynnik z grupy \(II\). Liczb pierwszych z grupy \(I\) jest 14, co oznacza, że istnieje liczba \(a _{i}(i \in {1,2,..,15})\), która w swoim rozkładzie liczby z grupy \(I\) nie ma. Z kolei \(a _{i}\) ma co najwyżej 1 czynnik z grupy \(II\), stąd jest ona pierwsza. \(c.n.d\) Zadanie 2. Rozwiązanie: Niech \(M\)będzie punktem przecięcia odcinków \(AE\) i \(CD\), a \(F\) punktem przecięcia prostej \(BM\) z bokiem \(AC\). Stosując tw. Cevy otrzymujemy: \(\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} =1 \Leftrightarrow \frac{CF}{FA}= \frac{1}{2}\) Następnie, stosując tw. van Aubela mamy: \(\frac{CM}{MD}= \frac{EC}{BE} + \frac{CF}{FA} =1\), czyli \(CM=MD\) Z założenia, trójkąt \(ADM\) jest równoramienny, czyli \(AM=MD\) Skoro \(AM=MD=CM\), to punkt \(M\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ACD\). Jest on równocześnie środkiem odcinka \(CD\), co oznacza, że odcinek \(CD\) jest średnicą wspomnianego okręgu. Kąt \(BAC\) leży naprzeciwko odcinka \(CD\), jest więc prosty. Zadanie 3. Rozwiązanie: \((a+b)(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c) +bc\) Liczby a,b,c są nieujemne, więc podstawiając \(x=bc \ i \ y=a(a+b+c)\) można skorzystać z nierówności \(x+y \ge 2 \sqrt{xy}\) Otrzymujemy \(bc+a(a+b+c) \ge 2 \sqrt{abc(a+b+c)}\) \(c.n.d\) Zadanie 4. Rozwiązanie: \(S\)- suma tych liczb Niech a będzie najmniejszą z tych liczb. Korzystając z wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy: \(S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+1999)=2000 \cdot \frac{a+a+1999}{2}=1000(2a+1999)=2^3 \cdot 125 \cdot (2a+1999)\) Zauważmy, że liczba \((2a+1999)\) jest nieparzysta, więc w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby\(S\) dwójka występuje w nieparzystej potędze, stąd nie może być ona kwadratem liczby całkowitej. \(c.n.d\) Zadanie 5. Rozwiązanie: Zauważmy, że jeżeli para \(( x_{0}, y _{0} )\) spełnia ten układ równań, to para \(( x_{0}, -y _{0} )\) też. Żeby uzyskać nieparzystą liczbę rozwiązań, układ ten musi spełniać para liczb \(( x_{0}, 0} )\)(Gdyż \(-0=0\)). Podstawiając \(y=0\) \(\begin{cases} x^2=0\\(x-k)^2=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=0\\k^2=1\end{cases}\) Stąd \(k=1 \vee k=-1\) Podstawiając\(k=1\) do układu otrzymujemy \(\begin{cases} x^2-y^2=0\\(x-1)^2+y^2=1\end{cases}\) Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: \((1;1),(1;-1),(0;0)\) Podstawiając \(k=-1\) do układu otrzymujemy \(\begin{cases} x^2-y^2=0\\(x+1)^2+y^2=1\end{cases}\) Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: \((-1;1),(-1;-1),(0;0)\) Odp. \(k=1 \vee k=-1\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: Sylwek » 11 lip 2009, o 00:50

Oceny: Zadanie 1. - 6 Zadanie 2. - 6 Zadanie 3. - 6 Zadanie 4. - 6 Zadanie 5. - 6 Komentarze: Zadanie 1. - Ładne, precyzyjne rozwiązanie. W tym zadaniu łatwo można było "puścić słowotok". Zadanie 2. - Istnieją prostsze metody

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: scyth » 14 lip 2009, o 20:49

fajnie, że jest max.

ODPOWIEDZ