znaleźć wszystkie rozwiązania

[Bieniu]

znaleźć wszystkie rozwiązania równania \(\displaystyle{ 4y''-4y'-3y=0}\), spełniające warunek \(\displaystyle{ y'(0)=0}\)

[nuclear]

wystarczy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ y=e^{rx}}\)
policz pierwszą i drugą pochodną wstaw do równanie i potem wyznacz t.

[Bieniu]

a mógłbyś mnie nakierować jak na to wpadłeś?

[fon_nojman]

Skąd wiadomo, że to są wszystkie rozwiązania?

Właściwie to nie są bo np funkcja stale równa \(\displaystyle{ 0}\) nie jest takiej postaci

[nuclear]

prawdę mówiąc to nie wpadałem na to tylko się tego nauczyłem. To jest jeden ze sposobów liczenia równań różniczkowych które musisz przyswoić.
tak samo z całką \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}}\) nie kombinuje się tylko stosuj podstawieni.

[luka52]

fon_nojman, przecież to podstawienie nie ma na celu wyznaczenia (bezpośrednio) wszystkich rozwiązań a jedynie służy wyznaczeniu (w tym przypadku) dwóch liczb, które wstawiając do odpowiednich wzorów dają wszystkie rozwiązania.

[fon_nojman]

Dlaczego dwóch liczb, przecież mamy tylko jedną \(\displaystyle{ r}\), o jakie wzory konkretnie chodzi bo ja przeważnie korzystam z wielomianu charakterystycznego?

Już chyba rozumiem. Wiemy, że zbiór rozwiązań tego zagadnienia jest przestrzenią liniową jednowymiarową, czyli jak znajdziemy jedno rozwiązanie to będzie baza i ok.

[lukasz1804]

Rozważmy równanie charakterystyczne postaci \(\displaystyle{ 4t^2-4t-3=0}\). Mamy

\(\displaystyle{ 0=4t^2-4t-3=(4t^2-4t+1)-4=(2t-1)^2-2^2=(2t-1-2)(2t-1+2)=(2t-3)(2t+1)}\), skąd \(\displaystyle{ t=\frac{3}{2}}\) lub \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{2}}\).

Zatem ogół rozwiązań równania \(\displaystyle{ 4y''-4y'-3y=0}\) stanowią funkcje postaci

\(\displaystyle{ \varphi_{A,B}(x)=Ae^{\frac{3}{2}x}+Be^{-\frac{1}{2}x}}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\),

gdzie \(\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}}\) są dowolnymi stałymi.
Aby spełniony był warunek początkowy \(\displaystyle{ y'(0)=0}\), musi być \(\displaystyle{ \varphi_{A,B}'(0)=0}\), tj. \(\displaystyle{ 0=\frac{3}{2}Ae^{\frac{3}{2}\cdot 0}-\frac{1}{2}Be^{-\frac{1}{2}\cdot 0}=\frac{3}{2}A-\frac{1}{2}B}\). Zatem \(\displaystyle{ B=3A}\), czyli rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ 4y''-4y'-3y=0}\) przy warunku \(\displaystyle{ y'(0)=0}\) są funkcje dane wzorem

\(\displaystyle{ \varphi_A(x)=A(e^{\frac{3}{2}x}+3e^{-\frac{1}{2}x})}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\),

gdzie \(\displaystyle{ A\in\mathbb{R}}\) jest dowolną stałą.