Matematyka.pl

Mam takie teoretyczne pytanie. Czy istnieje taki ciąg zbiorów zstępujących, że nieskończenie duży wyraz (zbiór) tego ciągu będzie miał więcej niż zero elementów, a jeśli tak to czy taki wyraz może mieć nieskończenie wiele elementów?

Mam pewien przykład. Niech pierwszym zbiorem będzie zbiór liczb naturalnych. Drugim zbiór liczb naturalnych bez liczby 1, trzecim bez liczby 1 i 2, itd. Czy nieskończenie duży wyraz takiego ciagu będzie miał zero elementów?

A jeśli wyobrazimy sobie np. taki ciąg zbiorów których elementami są liczby rzeczywiste i weźmiemy np. funkcję \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\). Niech pierwszym zbiorem będą wszystkie y rzeczywiste z przedziału od -1 do nieskończoności, drugi zbiór będą stanowić y rzeczywiste z przedziału od -1 do 2, trzeci od -1 do 1, itd. Górna granica przedziału dla kolejnych zbiorów bedzie ograniczona wykresem funkcji \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) dla x wynoszących kolejno 0,1,2,3... Będzie to zdaje się ciąg zbiorów zstępujących, ale nawet nieskończenie duży wyraz takiego ciagu będzie miał nieskończenie wiele liczb rzeczywistych (bo granica \(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) wynosi 0), czyli nieskończenie wiele elementów. Czy mam rację? No i czy podobna sytuacja może mieć miejsce gdy elementami zbiorów są tylko liczby naturalne? .

Nie ma czegoś takiego jak "nieskończenie duży wyraz ciągu". Mówisz prawdopodobnie o przecięciu (części wspólnej) ciągu zbiorów zstępujących.

Taka część wspólna może mieć zarówno zero, skończenie wiele, jak i nieskończenie wiele elementów, nawet w przypadku, kiedy wszystkie zbiory są podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\).

paladin pisze:Nie ma czegoś takiego jak "nieskończenie duży wyraz ciągu". Mówisz prawdopodobnie o przecięciu (części wspólnej) ciągu zbiorów zstępujących.

No tak mniej więcej o tym mówię, nie znam się dobrze na terminologii, ale rzeczywiście chodzi mi dokładnie o część wspólną ciągu zbiorów zstępujących.

Taka część wspólna może mieć zarówno zero, skończenie wiele, jak i nieskończenie wiele elementów, nawet w przypadku, kiedy wszystkie zbiory są podzbiorami \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\).

No tak o to właśnie pytałem. Ale nie rozumiem, chyba, że pisałeś o ciągach zbiorów zstępujących które mają skończoną ilość zbiorów. Ale jeśli założymy sobie, że nasz ciąg zbiorów zstępujących jest nieskończony - tzn. nie jest to 10 zbiorów, ani 1000, tylko nieskończenie wiele i wszystkie są podzbiorami liczb naturalnych, to aby w ogóle był to ciąg zbiorów zstępujących to każdy kolejny zbiór musi zawierać co najmniej jeden element mniej od poprzedniego, prawda? Zatem czy część wspólna w takim wypadku nie będzie wynosić zero? Nie wyobrażam sobie w tym przypadku żadnego ciągu zbiorów będących podzbiorami liczb naturalnych dla którego część wspólna mogłaby być większa od zera. Natomiast myślę, że jest to możliwe na zbiorze liczb rzeczywistych i wtedy taka część wspólna może mieć nawet nieskończenie wiele elementów.

matemix pisze:to aby w ogóle był to ciąg zbiorów zstępujących to każdy kolejny zbiór musi zawierać co najmniej jeden element mniej od poprzedniego, prawda?

To zależy, jak zdefiniujesz słowo "zstępujący", tzn. czy rozumiesz je w sensie ścisłym (zawieranie właściwe), czy słabym (zwykłe zawieranie).

matemix pisze:Nie wyobrażam sobie w tym przypadku żadnego ciągu zbiorów będących podzbiorami liczb naturalnych dla którego część wspólna mogłaby być większa od zera.

To wyobraź sobie, że w Twojej konstrukcji na każdym kroku wyrzucasz kolejną liczbę nieparzystą. Wtedy w części wspólnej będą wszystkie parzyste.

JK

To zależy, jak zdefiniujesz słowo "zstępujący", tzn. czy rozumiesz je w sensie ścisłym (zawieranie właściwe), czy słabym (zwykłe zawieranie).

Nie wiem, bo nie wiem czym te dwie opcje się różnią.

To wyobraź sobie, że w Twojej konstrukcji na każdym kroku wyrzucasz kolejną liczbę nieparzystą. Wtedy w części wspólnej będą wszystkie parzyste.

Fakt. Analogicznie możemy zacząć od zbioru liczb naturalnych i zabierać z niego w nieskończoność np. kolejne liczby pierwsze...

Cóż, tak naprawdę pytanie zadałem z powodu konkretnego problemu i liczyłem na proste rozwiązanie, niestety proste chyba nie istnieje. Mam pewien szereg funkcyjny:

\(\displaystyle{ f(a, k) = 3^{a} \cdot k}\)

\(\displaystyle{ f(a,b,c,k) = \frac {3^{c}}{2^{b+c}} \cdot (3^{a} \cdot k) - \frac {3^{c}}{2^{b+c}} + \frac {3^{c}}{2^{c}}}\)

\(\displaystyle{ f(a,b,c,d,e,k) = \frac {3^{c+e}}{2^{b+c+d+e}} \cdot (3^{a} \cdot k) - \frac {3^{c+e}}{2^{b+c+d+e}} + \frac {3^{c+e}}{2^{c+d+e}} - \frac {3^{e}}{2^{d+e}} + \frac{3^{e}}{2^{e}}}\)

itd.

Każda z funkcji dla pewnych zmiennych przyjmuje rozwiązania całkowite dodtanie, a zatem funkcje te wyznaczają pewne zbiory liczb naturalnych. Najprawdopodobniej mamy tu do czynienia ze zbiorami zstępującymi (aczkolwiek jeszcze nie wiem jak to udowodnić). No i usiłuję ustalić czy część wspólna tych zbiorów może mieć nieskończenie wiele elementów. Pewne jest, że owa część wspólna z pewnością będzie miała jeden element, będzie nią liczba 3, bo gdy wszystkie zmienne w kolejnych funkcjach są równe liczbie 1, to funkcje dają wynik równy 3.

matemix pisze:

To zależy, jak zdefiniujesz słowo "zstępujący", tzn. czy rozumiesz je w sensie ścisłym (zawieranie właściwe), czy słabym (zwykłe zawieranie).

Nie wiem, bo nie wiem czym te dwie opcje się różnią.

Dokładnie tym, czym ostra nierówność od nieostrej.

JK

Dokładnie tym, czym ostra nierówność od nieostrej.

A zatem chodzi mi o ciąg zbiórów zstępujących w sensie ostrym.

Jak zwykle wiele hałasu o nic...
Zauważ, że jak wyzerujesz wszystkie zmienne oprócz a i k to masz wszędzie to samo, czyli to co w pierwszym wyrazie, więc Twój "problem" sprowadza się do sprawdzenia, czy ta funkcja ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich a to chyba oczywiste.

Zapewne teraz stwierdzisz, że chodziło Ci o niezerowe zmienne

sigma pisze:Jak zwykle wiele hałasu o nic...
Zauważ, że jak wyzerujesz wszystkie zmienne oprócz a i k to masz wszędzie to samo, czyli to co w pierwszym wyrazie, więc Twój "problem" sprowadza się do sprawdzenia, czy ta funkcja ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich a to chyba oczywiste.

Zapewne teraz stwierdzisz, że chodziło Ci o niezerowe zmienne

Tak. Zmienne należą do liczb naturalnych (bez zera) i dodatkowo zmienna k ma być zawsze nieparzysta (ale to akurat chyba niewiele zmienia).


Zauważyłem, że funkcje te mają pewną właściwość. Jeśli np. dana funkcja przyjmuje jakąś wartość całkowitą dodatnią dla zmiennych równych kolejno np. a=1, b=2, c=3, to kolejna funkcja dla tych samych wartości zmiennych również przyjmuje jakąś wartość całkowitą.


Całe to zadanie można ująć również "odwrotnie":

\(\displaystyle{ f(e, m) = 3^{e} \cdot m = 3}\)

\(\displaystyle{ f(e,d,m) = \frac {2^{e+d}}{3^{e}} \cdot (3^{e} \cdot m) - 2^{d} + 1}\)

\(\displaystyle{ f(e,d,c,b,m) = \frac {2^{e+d+c+b}}{3^{e+c}} \cdot (3^{e} \cdot m) - \frac {2^{d+c+b}}{3^{c}} + \frac {2^{c+b}}{3^{c}} - 2^{b} + 1}\)

itd.

Zmienne które się powtarzają są tymi samymi zmiennymi co w poprzednim szeregu. Ten szereg jest odwróconą wersją poprzedniego. Tu z kolei należałoby udowodnić, że w nieskończoności dostaniemy funkcję której zbiór rozwiązań całkowitych będzie tym samym zbiorem co zbiór rozwiązań całkowitych pierwszej funkcji z poprzedniego szeregu: \(\displaystyle{ 3^{a} \cdot k}\).

Innymi słowy chodzi o to, żeby udowodnić, że ilość elementów zbiorów rozwiązań całkowitych dodatnich kolejnych funkcji w pierwszym szeregu maleje aż do jednego elementu (w nieskończoności), albo odwrotnie, że w powyższym szeregu ilość elementów zbiorów rozwiązań całkowitych dodatnich kolejnych funkcji rośnie od jednego rozwiązania dla pierwszej funkcji (zakładamy, że e=1 i m=1), do nieskończonej ilości. Oba te sformułowania są równoważne. Hmm, no chyba, że to co mi się wydaje nie jest prawdą, wtedy dowód nie istnieje.

matemix pisze:

sigma pisze:Jak zwykle wiele hałasu o nic...
Zauważ, że jak wyzerujesz wszystkie zmienne oprócz a i k to masz wszędzie to samo, czyli to co w pierwszym wyrazie, więc Twój "problem" sprowadza się do sprawdzenia, czy ta funkcja ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich a to chyba oczywiste.

Zapewne teraz stwierdzisz, że chodziło Ci o niezerowe zmienne

Tak. Zmienne należą do liczb naturalnych (bez zera)

..trafiony, zatopiony..

..trafiony, zatopiony..

Cóż mogę tylko dodać, że cały ten szereg powstał na podstawie pewnego algorytmu.

Zaczynamy od dowolnej liczby postaci \(\displaystyle{ 3^{a} \cdot k-1}\), następnie dzielimy ją przez jej największy dzielnik postaci \(\displaystyle{ 2^{b}}\). Otrzymujemy liczbę postaci \(\displaystyle{ 2^{c} \cdot d-1}\) (ta liczba jednak nigdy nie pojawia się w tej postaci a w postaci \(\displaystyle{ \frac{3^{a}\cdot k-1}{2^{b}}}\)) i tworzymy z niej liczbę \(\displaystyle{ 3^{c}\cdot d-1}\). Jak? do liczby \(\displaystyle{ 2^{c} \cdot d-1}\) dodajemy \(\displaystyle{ 1}\), po czym mnożymy ją razy \(\displaystyle{ \frac{3^c}{2^{c}}}\). No i tak w koło macieju... Tak powstaje nam szereg funkcyjny. A na koniec do każdej z funkcji w szeregu dodajemy liczbę \(\displaystyle{ 1}\) no i już mamy właściwy szereg. Nie wiem, być może z samej postaci powtarzalnego algorytmu da się wyciągnąć wnioski nt. zstępowania zbiorów rozwiązań naturalnych kolejnych funkcji (na co nie mam formalnego dowodu), być może również znając owy algorytm można powiedzieć coś o części wspólnej, aczkolwiek ja mam z tym problem.