[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
-
- Użytkownik
- Posty: 1146
- Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 18 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
\(\displaystyle{ (n+2)(n-7)(n-9)(n-14)}\)2.Udowodnij ze dla dowolnego n calkowitego (n+2)(n-7)(n-9)(n-14) dzieli sie przez 12.
Widać, że dokładnie dwa z tych czynników dzielą się przez 2, więc cała liczba dzieli się przez 4. Również przynajmniej jeden z czynników dzieli się przez 3 (wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ n}\) kolejno \(\displaystyle{ 3k,3k+1,3k+2}\), wtedy to łatwo zauważysz, a skoro dzieli się przez 3 i 4 to dzieli się przez 12
- matti
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 6 kwie 2006, o 18:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Ale wypas właśnie sie dowiedziałem, że mam maxa (II poziom) ciekawe kiedy Rzeszów .
Jak ktoś może to niech zapoda zadania z I poziomu bo tak z ciekawości chciałbym sobie zobaczyc.
Jak ktoś może to niech zapoda zadania z I poziomu bo tak z ciekawości chciałbym sobie zobaczyc.
-
- Użytkownik
- Posty: 300
- Rejestracja: 4 maja 2005, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z xiężyca
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 14 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Rzeszów jest 3 czerwca ... 200502.doc
a kartkę z zadaniami już komuś dałam. Była jedna nierówność, jedna geometria, a reszta to teoria liczb.
Cztery na 5-15 minut, a najdluzej czasu(i najmniej miejsca) zajelo mi to:
Udowodnij, że jeżeli n można przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych niebędących zerami, to 5n również ma tę własność.
a kartkę z zadaniami już komuś dałam. Była jedna nierówność, jedna geometria, a reszta to teoria liczb.
Cztery na 5-15 minut, a najdluzej czasu(i najmniej miejsca) zajelo mi to:
Udowodnij, że jeżeli n można przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych niebędących zerami, to 5n również ma tę własność.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Prosty dowodzik:
\(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\), wiec
\(\displaystyle{ 5n = 5a^2 + 5b^2 = (2a+b)^2 + (2a-b)^2}\), qed.
\(\displaystyle{ n = a^2+b^2}\), wiec
\(\displaystyle{ 5n = 5a^2 + 5b^2 = (2a+b)^2 + (2a-b)^2}\), qed.
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
A nie powinno być \(\displaystyle{ (2a+b)^2 + (a-2b)^2}\), ?Tomasz Rużycki pisze: \(\displaystyle{ (2a+b)^2 + (2a-b)^2}\), qed.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Powinno, przepraszam, machnalem sie przy pisaniu
Zamiencie sobie 5 na 443557 i pokazcie teze zadania ^^
Zamiencie sobie 5 na 443557 i pokazcie teze zadania ^^
-
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Proponuje tez troche zmieniona (i chyba nawet prostsza) wersje zadania - niech n bedzie suma dwoch kwadratow liczb naturalnych, wykazac, ze dla nieparzystych k liczba nk jest roznica sum dwoch kwadratow liczb naturalnych (tzn. \(\displaystyle{ x^2 + y^2 - (z^2 + t^2)}\), \(\displaystyle{ x,y,z,t\in\mathbb{N}}\).
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Witaj w klubie, ja teżmatti pisze:Ale wypas właśnie sie dowiedziałem, że mam maxa (II poziom)
- Uzo
- Użytkownik
- Posty: 1137
- Rejestracja: 18 mar 2006, o 10:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzyżów / Kraków
- Podziękował: 94 razy
- Pomógł: 139 razy
[Rzeszów] VI Podkarpacki Konkurs Matematyczny
No to może zamieszcze część zadań (bo nie chce mi się piątego rysować) II poziomu Może ktoś podzieli się jak sobie z nimi poradził ,albo co o nich mysli
1. Wykaż ,że jeżeli ax � +bx+c jest liczbą całkowitą dla dowolnego x ε C , to a,b,c nie muszą być liczbami całkowitymi.
2. Wykaż ,że jeżeli r jest długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a,b,c to suma wysokości w tym trójkącie wynosi \(\displaystyle{ r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\).
3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1+x+x^{2})^{2}=\frac{a+1}{a-1}(1+x^{2}+x^{4})}\) z niewiadomą x , jeśli |a| ≥ 2.
4. Wykaż ,że jeżeli wielomian w(x)=x � +px+q , gdzie q ≠ 0 ma 3 pierwiastki to p
1. Wykaż ,że jeżeli ax � +bx+c jest liczbą całkowitą dla dowolnego x ε C , to a,b,c nie muszą być liczbami całkowitymi.
2. Wykaż ,że jeżeli r jest długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a,b,c to suma wysokości w tym trójkącie wynosi \(\displaystyle{ r(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\).
3. Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ (1+x+x^{2})^{2}=\frac{a+1}{a-1}(1+x^{2}+x^{4})}\) z niewiadomą x , jeśli |a| ≥ 2.
4. Wykaż ,że jeżeli wielomian w(x)=x � +px+q , gdzie q ≠ 0 ma 3 pierwiastki to p