Matematyka.pl

Mam kilka problemów z całeczkami:

1. Oblicz pole płata powierzchni s: z= \(\displaystyle{ \sqrt{6- x^{2}- y^{2} }}\)
wyciętego przez: z = \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}}\)
Nie mogę sobie poradzić z przedziałem całkowania jaki będzie tutaj

2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=1\\x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=4\\z= \sqrt{ x^{2}= ^y{2} }\\z=0 \end{array}}\) dla x\(\displaystyle{ \leqslant}\)0
Pytanie czy wynik to: 7 \(\displaystyle{ \pi}\)/6

3. Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru ograniczonego przez: \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+ y^{2}=2x \\x^{2}+ y^{2}=4x\\y=x\\x=0 \end{array}}\)


Określiłem tylko jeden z przedziałów całkowania: \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\leqslant\phi \leqslant\frac{\pi}{2}}\)
Nie wiem jaki będzie drugi przedział r ??

4.Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach: \(\displaystyle{ \begin{cases} z=1+0,5 x^{2}+0,5 y^{2} \\ z+ x^{2}+ y^{2}=4 \end{cases}}\)

Czy wynik to -1,5\(\displaystyle{ \pi}\) ??
Przedziały całkowania założyłem następujące \(\displaystyle{ \begin{cases} 0\leqslant r\leqslant \sqrt{2} \\ 0\leqslant\phi\leqslant2\pi \end{cases}}\)

zad.3
\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi \in [ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2 }] (bo...x=0 \wedge y=x\\ r \in [2cos\phi,4cos\phi] \end{cases}}\)
tak sądzę. Narysuj dwa okręgi: \(\displaystyle{ \begin{cases} S_1(1,0),r_1=1\\ S_2(2,0),r_2=2 \end{cases}}\)
i zakreskuj obszar między tymi okręgami od prostej o równaniu y=x do prostej o równaniu x=0.
Punkty przecięcia pierwszego okręgu zosią OX nazwij A,drugiego - B, a z prostą y=x odpowiednio \(\displaystyle{ A_1,B_1}\).
Z trójkątów : \(\displaystyle{ OAA_1 \wedge OBB_1}\) odczytasz (z def,)\(\displaystyle{ cos\phi}\)
i obliczysz \(\displaystyle{ r_1,r_2}\).
oczywiście sprawdź to, bo mogę się mylić.-- 1 lip 2009, o 20:33 --a może autor zad.3 chce obligzyć obszar między okręgami i prostą: x=0 i : y=x ?
wtedy \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2} \le \phi \le \frac{\pi}{4}}\)
r jak wyżej

Faktycznie co do przedziału \(\displaystyle{ \phi}\) miałeś racje. Źle spojrzałem na rysunek.
Co do przedziału z r to nie kumam. Powinienem go z jakiegoś równania wyznaczyć a w tym zadaniu nie mam możliwość ułożenia logicznego równania

ZAD 1.
Wzór na pole:
\(\displaystyle{ S= \int \limits_D \int \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial z}{ \partial x} \right)^2+\left( \frac{ \partial z}{ \partial y} \right)^2} \mbox{d}x \mbox{d}y \\ \\
S= \int \limits_D \int \sqrt{\frac{6}{6-(x^2+y^2)} } \\
S=12\pi-2 \sqrt{30}}\)

pepis pisze:ZAD 1.
Wzór na pole:
\(\displaystyle{ S= \int \limits_D \int \sqrt{1+ \left( \frac{ \partial z}{ \partial x} \right)^2+\left( \frac{ \partial z}{ \partial y} \right)^2} \mbox{d}x \mbox{d}y \\ \\
S= \int \limits_D \int \sqrt{\frac{6}{6-(x^2+y^2)} } \\
S=12\pi-2 \sqrt{30}}\)

A jakie wziełaś przedziały całkowania ??