Matematyka.pl

Podać bazę ortonormalną {\(\displaystyle{ f _{1} ,f _{2}}\)} w podprzestrzeni wektorów kierunkowych \(\displaystyle{ \vec{a}= \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{b}= \left[\begin{array}{ccc}0\\-1\\1\end{array}\right]}\)

Musimy skorzystać z ortogonalizacji Grama -Schmidta

\(\displaystyle{ \vec{f _{1} } = \frac{1}{ \left| \vec{a} \right| } \vec{a}= \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]}\)

I nie wiem jak wyznaczyć drugi wektor

Korzystamy z ortogonalizacji Gramma -Schmidta

\(\displaystyle{ \vec{f _{b}' } =\vec{f_{b}} -\frac{<\vec{f_{a}},\vec{f_{b}}>}{ \left| \vec{f_{a}} \right|^{2} } \vec{f_{a}}= \left[\begin{array}{ccc}0\\-1\\1\end{array}\right]-\frac{< \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}0\\-1\\1\end{array}\right]>}{| \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]|^{2}} \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)

Teraz tylko je znormalizować:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\1\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right] \\
\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{11}}\\\frac{3}{\sqrt{11}}\\\frac{1}{\sqrt{11}}\end{array}\right]}\)

Baza:
\(\displaystyle{ \lbrace f_{1},f_{2} \rbrace=\lbrace \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{11}}\\\frac{3}{\sqrt{11}}\\\frac{1}{\sqrt{11}}\end{array}\right] \rbrace}\)

Wkradła się pomyłka. Zamiast 3/4 powinno być-1.