Matematyka.pl

1) Rozwiąż nierównośc w parach liczb rzeczywistych dodatnich (x,y): \(\displaystyle{ 8x^{3}+y^{3}+27>18xy}\)

2) W czasie egzaminu n studentów oddało wykładowcy swoje indeksy. Po zakończeniu egzaminu i wpisaniu ocen wykładowca oddał każdemu studentowi jeden, losowo wybrany indeks. Niech \(\displaystyle{ P(n,k)}\) będzie prawdopodobieństwem, że dokładnie k indeksów trafiło do właścicieli. Czy wtedy \(\displaystyle{ P(2009,2008)<10^{-6}}\)?

3) Jaki liczby stanowią najlepsze ograniczenie z gory i z dołu elementów zbioru
\(\displaystyle{ A={ \frac{3}{n}- \frac{2}{m}; m,n \in N-{0} }}\) . Czy te ograniczenia należą do tego zbioru?

4) Znajdź wszystkie funkcje f o dziedzinie R spełniające dla każdego x warunek: \(\displaystyle{ x^{2}*(f(x))^{2}+1=2x*f(x)}\). Wystarczy podstawić x=0 i otrzymać sprzeczność i koniec?

5) Suma wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego 2009-wyrazowego o wyrazach dodatnich jest liczbą wymierną. Czy stąd wynika, że co najmniej jeden wyraz tego ciagu jest wymierny?

6) Suma wszystkich trzech dzielników pewnej liczby naturalnej wynosi 133. Co to za liczba?

7) Jakie liczby stanowią najlepsze ograniczenie z góry i z dołu elementów zbioru
\(\displaystyle{ A=\left\{ \frac{1}{2m^{2}-n^{2}}:n,m \in \NN-\{0\}\right\}}\). Czy te ograniczenia należą do tego zbioru?

8) Czy w trójkącie o bokach 2,3,4 każdy z trzech kątów ma miarę mniejszą od 120?

9) Jaka jest najmniejsza liczba naturalna k, dla której poniższe wynikanie jest prawdziwe dla dowolnych liczb naturalnych m,n,r: \(\displaystyle{ 4^{k}|mnr \Rightarrow 4^{5}|m \vee 4^{3}|n \vee 4^{12}|r}\)?

10) Jakie wartości przyjmują wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a_{n}= NWD(16n-1,n+1)}\)?

11) Których ciągów siedmiowyrazowych jest więcej: o wyrazach naturalnych nieprzekraczających 2005 czy różnowartościowych o wyrazach naturalnych nieprzekraczających 2008?

12) Dla jakich liczb naturalnych n zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n^{3}+n^{2}}-n< \frac{112233}{336698}}\)?

;D

ad 6 Jesli liczba n ma tzy dzielniki tzn ze \(\displaystyle{ n=p^2}\) , tj \(\displaystyle{ 1+p+p^2=133}\)
p=11
n=121

-- 28 czerwca 2009, 21:02 --

ad 10 Jesli d dzieli \(\displaystyle{ n+1}\) i d dzieli \(\displaystyle{ 16n-1}\), to d dzieli \(\displaystyle{ 16(n+1)}\), tj
d=1 lub d=17
i tak np \(\displaystyle{ a_1=1}\) , \(\displaystyle{ a_{16}=17}\)
innych wartosci ciag ten nie osiaga

-- 28 czerwca 2009, 21:04 --

ad 8 wsk Najwiekszy kat jest ten naprzeciw boku 4, oblicz jego cos z tw cosinusów

-- 28 czerwca 2009, 21:05 --

ad 4 tak , chyba ze cos zle odpisales...-- 28 czerwca 2009, 21:11 --ad 3 \(\displaystyle{ \frac{3}{m} -\frac{2}{n} < \frac{3}{m} \leq 3}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{3}{m} -\frac{2}{n} \geq \frac{3}{m} -2 > -2}\)

1)Z AM>=GM:
\(\displaystyle{ 8x^{3}+y^{3}+27 \ge 3 \sqrt[3]{8\cdot27\cdot x^{3} y^{3}}=18xy}\)
Stąd nierówność zachodzi dla wszystkich x,y dodatnich, prócz pary \(\displaystyle{ (1.5;3)}\)
9)Wskazówka:wykaż, że k=18

ad 5 wsk \(\displaystyle{ a_1+...+a_{2009} = 2009a_{1005}}\)

dzięki za podpowiedzi! , Kubek - dlaczego prócz pary 1,5 i 3?

Już jasne, nie zauważyłem, że nia ma rowności ;P dzięki

-- 29 cze 2009, o 13:54 --

Zostały jeszcze 2, 7, 9, 11, 12

Quote:

Zostały jeszcze 2, 3, 7, 9, 11, 12

3 juz chyba bylo... ad 7 m i n sa to liczby rzeczywiste czy naturalne?!

Racja 3 było, a w 7 naturalne. Juz poprawiłem sorry za błąd.

ad 7 wsk \(\displaystyle{ |\frac{1}{2m^2-n^2}| \leq 1}\)

w 7 widać, że od góry ograniczać będzie 1 a od dołu \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) i oba będą należeć do zbioru. Nie wiem tylko jak to jakoś ładnie udowodnić.-- 29 cze 2009, o 20:58 --I jeszcze co do zad.8 zakładam, że ten kąt ma 120 stopni i układam równośc według wzoru, czy jakąś nierówność? Czy wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 16=4+9-12cos120=13+6=19}\) i z tej sprzeczności stwierdzić, że ten kąt musi być mniejszy?

Quote

w 7 widać, że od góry ograniczać będzie...

Rozwaz \(\displaystyle{ m=n=1}\) jak i \(\displaystyle{ m=2, n=3}\)

racja, czyli od dołu -1, dzięki

ad. 12

Niech \(\displaystyle{ f(n)=\sqrt[3]{n^3+n^2}-n}\), gdzie \(\displaystyle{ D_f=N}\)
Wtedy zachodzi: \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } f(n)=\ldots=\frac{1}{3}<\frac{112233}{336698}}\)

Więc podejrzewam, że wszystkie liczby naturalne spełniają nierówność w temacie zadania, aby się upewnić sprawdzam:
1) \(\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{3} \Leftrightarrow n=-\frac{1}{9}}\) - sprzeczność
2) np. \(\displaystyle{ f(0)=0<\frac{1}{3}}\)

W związku z tym, że funkcja w swojej dziedzinie:
1. nigdzie nie osiąga wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\),
2. dla przypadkowego argumentu wartość funkcji jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\),
3. funkcja jest ciągła

to nierówność z tematu zadania spełniają wszystkie liczby naturalne.

-- 30 czerwca 2009, 00:11 --

Ad. 11 Zakładam, że 0 należy do naturalnych.

Więc pierwszych ciągów jest: \(\displaystyle{ m=2006^7}\)

Natomiast drugich jest: \(\displaystyle{ n=2009\cdot 2008 \cdot \ldots \cdot 2003}\)

I teraz:

\(\displaystyle{ n=2009\cdot 2008\cdot 2007\cdot 2006 \cdot 2005 \cdot 2004 \cdot 2003 \\\\n=(2006+3)\cdot(2006+2)\cdot(2006+1)\cdot 2006 \cdot (2006-1)\cdot (2006-2)\cdot(2006-3) \\ \\ n= \left( 2006^2-9\right) \left(2006^2-4 \right) \left(2006^2-1 \right)\2006 < 2006^2\cdot 2006^2\cdot 2006^2 \cdot 2006=m}\)

Więc tych pierwszych ciągów jest więcej.

ad 2 \(\displaystyle{ P(2009,2008)=0}\) jeden indeks nie mogl trafic tam gdzie nie trzeba skoro pozostałe trafily do swych wlascicieli...

Super, zostało tylko dziewiąte ;D

\(\displaystyle{ 9.}\)
Ja się na czwórkach nie umiem bawić, więc dla mnie teza wygląda tak: \(\displaystyle{ 2^{a}|mnr \Rightarrow 2^{10}|m \vee 2^{6}|n \vee 2^{24}|r}\). Dla \(\displaystyle{ a=37}\) teza nie jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ m=2^{9}s}\), \(\displaystyle{ n=2^{5}t}\), \(\displaystyle{ r=2^{23}u}\), gdzie s,t,u są nieparzyste. Dla \(\displaystyle{ a \ge 38}\), jeśli założymy, że istnieją takie m,n, r, które nie spełniają tezy, szybko otrzymujemy sprzeczność (że niby mnr dzieli się conajwyżej przez \(\displaystyle{ 2^{37}}\)...).
Wobec tego najmniejszym k, dla którego teza jest prawdziwa dla każdego m,n, r jest \(\displaystyle{ k= \frac{38}{2}=19}\)