Strona 1 z 1
Czy maciesz jest odwracalna?
: 25 cze 2009, o 15:34
autor: john.ponton
Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Załóżmy dodatkowo, że macierze A oraz I−AB są odwracalne. Sprawdź, że wówczas macierz \(\displaystyle{ A^{-1}−B}\) jest też odwracalna i jej odwrotnością jest macierz \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).
Z góry dziękuje za pomoc;].
Czy maciesz jest odwracalna?
: 25 cze 2009, o 17:42
autor: BettyBoo
john.ponton pisze:Niech A i B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia. Załóżmy dodatkowo, że macierze A oraz I−AB są odwracalne. Sprawdź, że wówczas macierz \(\displaystyle{ A^{-1}-B}\) jest też odwracalna i jej odwrotnością jest macierz \(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).
Z góry dziękuje za pomoc;].
Jeśli A jest odwracalna i I-AB jest odwracalna, to w szczególności
\(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\) jest odwracalna i wtedy z własności macierzy mamy
\(\displaystyle{ ((I-AB)^{-1}A)^{-1}=A^{-1}((I-AB)^{-1})^{-1}=A^{-1}(I-AB)=A^{-1}-A^{-1}AB=A^{-1}-B}\)
a ponieważ odwracanie jest jednoznaczne, to
\(\displaystyle{ (A^{-1}-B)^{-1}}\) istnieje i jest równa
\(\displaystyle{ (I-AB)^{-1}A}\).
Pozdrawiam.