przeciwobraz zbioru otwartego

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
kocica
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 14 maja 2008, o 13:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

przeciwobraz zbioru otwartego

Post autor: kocica » 23 cze 2009, o 10:57

Wykazać, że f jest ciagła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Tomasz Tkaczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 476
Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 92 razy

przeciwobraz zbioru otwartego

Post autor: Tomasz Tkaczyk » 23 cze 2009, o 12:28

Którą definicją ciągłości funkcji się posługujesz?

kocica
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 14 maja 2008, o 13:11
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

przeciwobraz zbioru otwartego

Post autor: kocica » 23 cze 2009, o 13:10

f jest ciągła w \(\displaystyle{ x_{0}\inX}\), jeśli \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{{x_{n} \subset X }}\)\(\displaystyle{ x_{n} \to ^{ d_{x}} x_{0} \Rightarrow f(x_{n}) \to ^{ d_{y}} f(x_{0})}\)

Tomasz Tkaczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 476
Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 92 razy

przeciwobraz zbioru otwartego

Post autor: Tomasz Tkaczyk » 23 cze 2009, o 15:57

Mamy \(\displaystyle{ X,Y}\) metryczne.

\(\displaystyle{ ( \Leftarrow )}\)

Załóżmy, że przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) każdego zbioru otwartego w \(\displaystyle{ Y}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).

Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w każdym punkcie \(\displaystyle{ x \in X}\).

Niech \(\displaystyle{ x \in X}\) będzie dowolny.

Niech \(\displaystyle{ s>0}\) będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Kula \(\displaystyle{ B(f(x),s)}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ Y}\), więc

\(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X}\).

Weźmy dowolny ciąg w \(\displaystyle{ X}\) \(\displaystyle{ (x_{n})_{n=1}^{\infty}}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\).

Z tego, że \(\displaystyle{ f^{-1}(B(f(x),s))}\) jest otwartym otoczeniem \(\displaystyle{ x}\) wynika, że

\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(x_{n} \in f^{-1}(B(f(x),s)))}\). Zatem

\(\displaystyle{ (\exists N)(\forall n>N)(f(x_{n}) \in (B(f(x),s))}\).

\(\displaystyle{ s}\) była dowolną liczbą większą od \(\displaystyle{ 0}\), więc \(\displaystyle{ (f(x_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\).

\(\displaystyle{ x}\) był dowolnym punktem \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła.

\(\displaystyle{ ( \Rightarrow )}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła i przypuśćmy nie wprost, że

istnieje taki zbiór otwarty \(\displaystyle{ U}\) w \(\displaystyle{ Y}\), którego przeciwobraz przez \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty w \(\displaystyle{ X}\).

\(\displaystyle{ U}\) jest sumą kul, zatem przeciwobraz którejś kuli w tej sumie przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) nie jest otwarty.

Niech \(\displaystyle{ B(y, s)}\) będzie tą kulą dla pewnego \(\displaystyle{ y \in Y, s>0}\).

Zatem \(\displaystyle{ V := f^{-1}(B(y, s))}\) nie jest otwarty, a oznacza to, że

\(\displaystyle{ \exists z \in V-Int(V)}\).

A więc dla każdego otoczenia otwartego \(\displaystyle{ W}\) punktu \(\displaystyle{ z}\) \(\displaystyle{ W \cap X-V \neq \emptyset}\).

Zatem istnieje taki ciąg \(\displaystyle{ (z_{n})_{n=1}^{\infty} \subseteq X-V}\) zbieżny do \(\displaystyle{ z}\).

Z tego, że \(\displaystyle{ B(y, s)}\) jest otwarty i \(\displaystyle{ f(z) \in B(y,s)}\)

istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ B(f(z),r) \subseteq B(y,s)}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ (\neg \exists n)(f(z_{n}) \in B(f(z),r))}\). Tak więc

ciąg \(\displaystyle{ (f(z_{n}))_{n=1}^{\infty}}\) nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ f(z)}\).

Więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest ciągła w \(\displaystyle{ z}\). Sprzeczność.

ODPOWIEDZ