[MIX] Mix wakacyjny (24)
: 19 cze 2009, o 17:29
Każdy inaczej ma zaplanowane wakacje, może się jednak okazać, że kilka dni wolnych jest w domu, zadanka z olimpiady fizycznej dopiero w sierpniu i co tu począć? Można na przykład zabrać się za wczesnowakacyjny mix matematyczny.
1. W prostokącie o polu jednostkowym wybrano pięć punktów takich, że żadne trzy nie są współliniowe. Znajdź najmniejszą liczbę trójkątów o wierzchołkach w trzech z tych pięciu punktów takich, że pole żadnego trójkąta nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).
2. Ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) opisany jest rekurencyjnie
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=\frac{1}{2} \\ a_{k+1}=\frac{1}{2-a_{k}}-a_{k} \end{cases}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (\frac{n}{2 \sum_{i=1}^{n} a_{i}}-1)^{n} \le (\frac{ \sum_{i=1}^{n} a_{i}}{n})^{n} \prod_{i=1}^{n} (\frac{1}{a_{i}}-1)}\)
3. Niech n będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} {n \choose k} {n-k \choose [\frac{n-k}{2}]} = {2n+1 \choose n}}\) gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza część całkowitą
4. Dany jest trójkąt równoramienny ABC (AB=AC) wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) jest styczny do AB w P, do AC w Q i styczny wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Udowodnij, że środek odcinka PQ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC
5. Czy istnieją takie liczby wymierne a,b,c,d i liczba naturalna n, że równanie \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^{2n}+(c+d\sqrt{2})^{2n}=5+4\sqrt{2}}\) ma rozwiązanie?
6. Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, że istnieje n kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym niż 1.
7. Dana jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\), która w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym zawiera wszystkie dziesięć cyfr. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza liczbę różnych n-cyfrowych ciągów (cyfr występujących bezpośrednio po sobie) w rozwinięciu dziesiętnym liczby x. Udowodnij, że jeśli dla pewnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(n) \le n+8}\), to x jest liczbą wymierną.
8. Na odcinku jednostkowym zaznaczono kilka odcinków tak, że odległość między żadnymi dwoma punktami nie wynosi dokładnie 0,1. Udowodnij, że suma długości zaznaczonych odcinków jest nie większa, niż 0,5.
9. Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg. Proste AB i CD przecinają się w punkcie G, zaś proste BC i AD w punkcie H. Udowodnij, że dwusieczne kątów AGC i BHD są prostopadłe.
10. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a,b,c takich, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum \frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c} \ge \frac{2}{3}}\)
1. W prostokącie o polu jednostkowym wybrano pięć punktów takich, że żadne trzy nie są współliniowe. Znajdź najmniejszą liczbę trójkątów o wierzchołkach w trzech z tych pięciu punktów takich, że pole żadnego trójkąta nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).
2. Ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ {a_{n}}}\) opisany jest rekurencyjnie
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=\frac{1}{2} \\ a_{k+1}=\frac{1}{2-a_{k}}-a_{k} \end{cases}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (\frac{n}{2 \sum_{i=1}^{n} a_{i}}-1)^{n} \le (\frac{ \sum_{i=1}^{n} a_{i}}{n})^{n} \prod_{i=1}^{n} (\frac{1}{a_{i}}-1)}\)
3. Niech n będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 2^{k} {n \choose k} {n-k \choose [\frac{n-k}{2}]} = {2n+1 \choose n}}\) gdzie \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza część całkowitą
4. Dany jest trójkąt równoramienny ABC (AB=AC) wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) jest styczny do AB w P, do AC w Q i styczny wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Udowodnij, że środek odcinka PQ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC
5. Czy istnieją takie liczby wymierne a,b,c,d i liczba naturalna n, że równanie \(\displaystyle{ (a+b\sqrt{2})^{2n}+(c+d\sqrt{2})^{2n}=5+4\sqrt{2}}\) ma rozwiązanie?
6. Niech n będzie liczbą naturalną. Wykaż, że istnieje n kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku większym niż 1.
7. Dana jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\), która w nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym zawiera wszystkie dziesięć cyfr. Niech \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza liczbę różnych n-cyfrowych ciągów (cyfr występujących bezpośrednio po sobie) w rozwinięciu dziesiętnym liczby x. Udowodnij, że jeśli dla pewnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność \(\displaystyle{ f(n) \le n+8}\), to x jest liczbą wymierną.
8. Na odcinku jednostkowym zaznaczono kilka odcinków tak, że odległość między żadnymi dwoma punktami nie wynosi dokładnie 0,1. Udowodnij, że suma długości zaznaczonych odcinków jest nie większa, niż 0,5.
9. Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg. Proste AB i CD przecinają się w punkcie G, zaś proste BC i AD w punkcie H. Udowodnij, że dwusieczne kątów AGC i BHD są prostopadłe.
10. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a,b,c takich, że \(\displaystyle{ a+b+c=1}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum \frac{a^{2}+b^{2}c}{b+c} \ge \frac{2}{3}}\)