Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} sin(2\pi \sqrt{n^2+1})}\)
W argumencie sinusa sztucznie dodaję \(\displaystyle{ -2\pi n}\) a następnie do kryterium ilorazowego dobieram ciąg 1/n. Dochodzę do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n}}}\)

Jak obliczyć tę granicę? Wychodzi tam \(\displaystyle{ 2\pi^2}\).

Witam

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{sin(\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1})}{\frac{1}{n} \frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}\frac{4\pi^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}}=\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2}\)

zastosuj kryterium warunku koniecznego:
jezeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest zbieżny,to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\)
zatem jeżeli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\)
jest rozbieżny.
Twoje kryterium (?) daje ocenę : "szereg rozbieżny"

belferkaijuz pisze:zastosuj kryterium warunku koniecznego:

Takie kryterium nie istnieje koleżanko. Nie nazywajmy tego kryterium tylko mówmy, że szereg nie spełnia warunku koniecznego.

Kamil_B - no tak, przecież to oczywiste. Dzięki (: