Graniastosłup trójkątny
: 20 mar 2006, o 22:32
W graniastosłupie trójkątnym każdy wierzchołek jednej podstawy połączono odcinkiem z punktem przecięcia przekątnych przeciwległej (temu wierzchołku) ściany bocznej. Udowodnij że te trzy odcinki przecinają się w tym samym punkcie, który dzieli je w stosunku 1:2
W całym tym zadaniu umiem udowodnić w jakim stosunku dzielą się te odcinki, ale nie mam pomysłu jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie. Gdyby jescze to był graniastosłup prosty to bym powiedział że żuty odcinków tych na podstawę to środkowe trójkąta który tą podstawę tworzy. Zatem skoro wszystkie środkowe w trujkącie zawsze przecinają się w tym samym punkcie to i te odcinki musiały by się przecinać w tym samym punkcie. ALe tak nie jest i nie wiem co zrobić z tym mam. Codo reszty udowodniłem to następująco:
1.Odcinki AO, OC, OB, BA, BC, AC tworzą jeden ostrosłup, natomiast odcinki EF, FG, GE, GO, FO, EO tworzą drugi ostrosłup, przy czym ich podstawy są do siebie równoległe i ponadto oba ostrosłupy stykają się w punkcie O.
2.Opierając się na powyższych informacjach można łatwo stwierdzić że kąty nachylenia krawędzi bocznych do podstawy są w obu ostrosłupach kolejno jednakowe. Wiedząc to wszystko i dodatkowo to że krawędzie podstawy małego ostrosłupa stanowią połówki krawędzi tworzących podstawę dużego ostrosłupa zatem i krawędzie boczne małego ostrsłupa do krawędzi bocznych dużego ostrosłupa są jak 1:2
Czy to są wystarczające dowody na stosunek długości odcinków i jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie?
W całym tym zadaniu umiem udowodnić w jakim stosunku dzielą się te odcinki, ale nie mam pomysłu jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie. Gdyby jescze to był graniastosłup prosty to bym powiedział że żuty odcinków tych na podstawę to środkowe trójkąta który tą podstawę tworzy. Zatem skoro wszystkie środkowe w trujkącie zawsze przecinają się w tym samym punkcie to i te odcinki musiały by się przecinać w tym samym punkcie. ALe tak nie jest i nie wiem co zrobić z tym mam. Codo reszty udowodniłem to następująco:
1.Odcinki AO, OC, OB, BA, BC, AC tworzą jeden ostrosłup, natomiast odcinki EF, FG, GE, GO, FO, EO tworzą drugi ostrosłup, przy czym ich podstawy są do siebie równoległe i ponadto oba ostrosłupy stykają się w punkcie O.
2.Opierając się na powyższych informacjach można łatwo stwierdzić że kąty nachylenia krawędzi bocznych do podstawy są w obu ostrosłupach kolejno jednakowe. Wiedząc to wszystko i dodatkowo to że krawędzie podstawy małego ostrosłupa stanowią połówki krawędzi tworzących podstawę dużego ostrosłupa zatem i krawędzie boczne małego ostrsłupa do krawędzi bocznych dużego ostrosłupa są jak 1:2
Czy to są wystarczające dowody na stosunek długości odcinków i jak udowodnić że przecinają się w jednym punkcie?