Strona 1 z 1
Całka niewłasciwa z parametrem
: 18 cze 2009, o 11:19
autor: podludek
Udowdnic, ze calka niewlasciwa
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{(1+x^p)(1+x^2)}}\)
nie zalezy od parametru p>0
Całka niewłasciwa z parametrem
: 18 cze 2009, o 11:22
autor: Hania_87
rozkład na ułamki proste
Całka niewłasciwa z parametrem
: 18 cze 2009, o 11:37
autor: luka52
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ I(p) = \int_0^{+\infty} \frac{\mbox d x}{(1+x^p)(1+x^2)}}\)
Można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ I'(p) = - \int_0^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x}\)
Wykazując, że:
\(\displaystyle{ - \int_0^1\frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x = \int_1^{+\infty} \frac{x^p \ln x}{(1+x^2)(1+x^p)^2} \; \mbox d x}\)
czyli innymi słowy
\(\displaystyle{ I'(p) \equiv 0}\), rozwiążesz zadanie .
PS. A rozkład na ułamki proste dotyczy funkcji wymiernych - tu tak nie musi być ze względu na dowolność parametru p (w pewnym zakresie oczywiście).