Matematyka.pl

Witam,

potrzebuje pomocy z następującym zadankiem

Zbadaj, czy dana funkcja \(\displaystyle{ u=x-2y+2z}\) ma ekstrema warunkowe przy warunku \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + x^{2} = 1}\)

Z góry dzieki za pomoc

Pozdrawiam

Odświeżam, potrafi ktoś rozwiązać to zadanie?

tu jest podobne zadanie, polecam obejrzeć metodę rozwiązywania za pomocą mnożników Lagrange'a:
https://matematyka.pl/post466430.htm?hil ... we#p466430.
łatwo zauważyć, że tutaj mamy do czynienia z funkcją:
\(\displaystyle{ F(x,y, \alpha )= x-2y+2z - \alpha(x^2+y^2+z^2-1)}\).

p.s. bo rozumiem, że pisząc warunek, netrunner zrobił błąd i na końcu miło być z^2.

-- 17 cze 2009, o 21:50 --

po policzeniu pochodnych cząstkowych i rozwiązaniu układu rownań dostajemy punkty:
\(\displaystyle{ P_{1}=(\frac{1}{3},\frac{-2}{3},\frac{2}{3},), \alpha=\frac{3}{2}}\)oraz\(\displaystyle{ P_{2}=(\frac{-1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3},)}\).
wyznacznik hesjanu (macierzy drugich pochodnych cząstkowych) wynosi \(\displaystyle{ -8 \alpha^3}\).
czyli w pierwszym punkcie ekstremum nie istnieje (ponieważ hesjan z podstawioną lambdą ma wyznacznik ujemny), a w drugim jest minimum (wyznacznik większy od zera). pozostaje policzyć wartości w tych punktach dla funkcji u.
mam nadzieję, że trochę rozwiałam chmury.