twierdzenie całkowe o residuach

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gtr7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 cze 2009, o 17:29
Płeć: Mężczyzna

twierdzenie całkowe o residuach

Post autor: gtr7 » 17 cze 2009, o 01:54

Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{dz}{(z-1)^2(z^2+1)}}\), gdzie C - okrąg \(\displaystyle{ \left|z \right|=2}\) zorientowany dodatnio;

wychodzi mi ze; \(\displaystyle{ i}\) - biegun jednokrotny, \(\displaystyle{ -i}\) - biegun jednokrotny, \(\displaystyle{ 1}\) - biegun dwukrotny, więc licze residua i wychodzi mi; \(\displaystyle{ res_{i}= \frac{1}{4}}\),\(\displaystyle{ res_{-i}= \frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ res_{1}= -\frac{1}{2}}\), więc \(\displaystyle{ \int_{C}^{} \frac{dz}{(z-1)^2(z^2+1)} = 2 \pi i(res_{i}+res_{-i}+res_{1}) = 2 \pi i ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ) = 0 !!!}\)
(w odpowiedziach piszą że powinno wyjść \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}\pi i}\) więc podejrzewam że albo któreś residuum źle policzyłem, albo któryś punkt nie należy do okręgu... Niestety nie umiem dojść do tego gdzie jest błąd, prosze pomóżcie)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

twierdzenie całkowe o residuach

Post autor: luka52 » 17 cze 2009, o 11:33

Żaden z punktów osobliwych nie należy do okręgu Obliczenia masz ok - rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ 0}\).

ODPOWIEDZ