[MIX] mix z kółka matematycznego
: 16 cze 2009, o 16:36
Rozwiązane 1) Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ 2^{x}=3}\) i \(\displaystyle{ 5^{y}=3}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} >2}\).
2) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych, których różnica jest równa ilorazowi.
Rozwiązane 3) Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ n \times 2}\). Z lewego górnego rogu idziemy do prawego dolnego po liniach kratki, ale poruszać się możemy tylko w prawo lub w dół. Ile jest możliwych dróg?
Rozwiązane 4) Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ m<n}\). tóra z liczb jest większa: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[m]{n}}\) ?
Rozwiązane 5) Uzasadnij, że dwa prostokąty o równych polach i równych obwodach mają boki odpowiednio równe.
Rozwiązane 6) Znajdź wszystkie liczby calkowite, których połowa jest kwadratem liczby całkowitej, a jedna trzecia sześcianem liczby całkowitej.
Rozwiązane 7) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}+1)(a^{2^{2}}+1)...(a^{2^{n-2}}+1)(a^{2^n}+1).}\)
8) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n^{k}+1 \mid n^{l}+1}\) dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), to \(\displaystyle{ k\mid l}\).
Rozwiązane 9) Wykaż, że pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest nie mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}}\).
Rozwiązane 10) Wykaż, że jeżeli pewna liczba calkowita jest sumą kwadratów dwóch liczb calkowitych, to jej dwukrotność teź jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Rozwiązane 11) Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=1 \\ x^{3}+y^{3}=1. \end{cases}}\)
12) Nieujemną liczbę całkowitą nazywamy rosnącą, jeśli ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego, od lewej do prawej, jest ciągiem rosnącym (być może jednoelementowym). Wykaż, że liczb rosnących o nieparzystej liczbie cyfr jest o dwie więcej, niż liczb rosnących o parzystej liczbie cyfr.
Rozwiązane 13) Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) każdy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ ad-bc}\).
14) Funkcja \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x}\) nierównego \(\displaystyle{ 0}\) równanie \(\displaystyle{ g(x) \cdot g\left( \frac{1}{x}\right) =1.}\) Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest określona za pomocą funkcji \(\displaystyle{ h:\RR \rightarrow \RR}\) równością \(\displaystyle{ f(x)=h(x)+g(x)\cdot h \left( \frac{1}{x}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Sprawdź, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) nierówny \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) teź jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Rozwiązane 15)Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb naturalnych spełniających równanie \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b}=p}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest daną liczbą pierwszą.
Rozwiązane 16) Znajdź ciąg, w którym suma n pierwszych wyrazów wynosi \(\displaystyle{ n(n^{2}-1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).
17) Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left [ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1} \right] = \left[ \sqrt{4n-1} \right]}\).
Rozwiązane 18) Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ c}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ 100a + 10b + c}\).
Rozwiązane 19) Wykaż, że liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunki \(\displaystyle{ x+y+z=xy+yz+zx}\) i \(\displaystyle{ xyz=1}\), to co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 1}\).
Rozwiązane 20) Udowodnij, że jeżeli suma liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ ab+bc+cd \le \frac{1}{4}}\).
21) Wykaż, że do dowolnej liczby naturalnej w zapisie dziesiętnym można dopisać pewną liczbę cyfr tak, aby otrzymać sześcian liczby naturalnej.
22) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami dodatnimi, to w przedziale \(\displaystyle{ \left[x,x+y+ \frac{x}{y}+1 \right]}\) leży co najmniej jeden kwadrat liczby całkowitej.
Rozwiązane 23) Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{0}+ \sqrt{1} }+ \frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+...+ \frac{1}{\sqrt{n-1}+ \sqrt{n}}= \sqrt{n}}\).
24) Dane są liczby dodatnie a,b,c oraz liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\). Wykaż, że funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-x_{1})(x-x{2})+b(x-x_{2})(x-x{3})+c(x-x_{3})(x-x{1})}\)
ma pierwiastek rzeczywisty.
25) Iloczyn pewnych dwoch liczb dodatnich całkowitych jest podzielny przez ich sumę. Wykaż, że w rozkładzie tej sumy na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych wszystkie wykładniki są większe od \(\displaystyle{ 1}\).
Rozwiązane 26)Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ (a+b+c)\cdot c < 0}\), to równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\) ma pierwiastek rzeczywisty.
27) Danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) liczb dodatnich mniejszych od \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że suma pewnych \(\displaystyle{ n}\) z danych liczb jest większa od sumy \(\displaystyle{ n}\) pozostałych o mniej niż \(\displaystyle{ M}\).
2) Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych, których różnica jest równa ilorazowi.
Rozwiązane 3) Dany jest prostokąt \(\displaystyle{ n \times 2}\). Z lewego górnego rogu idziemy do prawego dolnego po liniach kratki, ale poruszać się możemy tylko w prawo lub w dół. Ile jest możliwych dróg?
Rozwiązane 4) Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ m<n}\). tóra z liczb jest większa: \(\displaystyle{ \sqrt[n]{m}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[m]{n}}\) ?
Rozwiązane 5) Uzasadnij, że dwa prostokąty o równych polach i równych obwodach mają boki odpowiednio równe.
Rozwiązane 6) Znajdź wszystkie liczby calkowite, których połowa jest kwadratem liczby całkowitej, a jedna trzecia sześcianem liczby całkowitej.
Rozwiązane 7) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\). Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ (a+1)(a^{2}+1)(a^{2^{2}}+1)...(a^{2^{n-2}}+1)(a^{2^n}+1).}\)
8) Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\). Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n^{k}+1 \mid n^{l}+1}\) dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), to \(\displaystyle{ k\mid l}\).
Rozwiązane 9) Wykaż, że pole trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest nie mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}}\).
Rozwiązane 10) Wykaż, że jeżeli pewna liczba calkowita jest sumą kwadratów dwóch liczb calkowitych, to jej dwukrotność teź jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
Rozwiązane 11) Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=1 \\ x^{3}+y^{3}=1. \end{cases}}\)
12) Nieujemną liczbę całkowitą nazywamy rosnącą, jeśli ciąg cyfr jej zapisu dziesiętnego, od lewej do prawej, jest ciągiem rosnącym (być może jednoelementowym). Wykaż, że liczb rosnących o nieparzystej liczbie cyfr jest o dwie więcej, niż liczb rosnących o parzystej liczbie cyfr.
Rozwiązane 13) Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ n}\) każdy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ an+b}\) i \(\displaystyle{ cn+d}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ ad-bc}\).
14) Funkcja \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x}\) nierównego \(\displaystyle{ 0}\) równanie \(\displaystyle{ g(x) \cdot g\left( \frac{1}{x}\right) =1.}\) Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest określona za pomocą funkcji \(\displaystyle{ h:\RR \rightarrow \RR}\) równością \(\displaystyle{ f(x)=h(x)+g(x)\cdot h \left( \frac{1}{x}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Sprawdź, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) nierówny \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) teź jest pierwiastkiem funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Rozwiązane 15)Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb naturalnych spełniających równanie \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b}=p}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest daną liczbą pierwszą.
Rozwiązane 16) Znajdź ciąg, w którym suma n pierwszych wyrazów wynosi \(\displaystyle{ n(n^{2}-1)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\).
17) Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left [ \sqrt{n-1}+ \sqrt{n+1} \right] = \left[ \sqrt{4n-1} \right]}\).
Rozwiązane 18) Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\), że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ c}\) jest tego samego znaku co \(\displaystyle{ 100a + 10b + c}\).
Rozwiązane 19) Wykaż, że liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunki \(\displaystyle{ x+y+z=xy+yz+zx}\) i \(\displaystyle{ xyz=1}\), to co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 1}\).
Rozwiązane 20) Udowodnij, że jeżeli suma liczb nieujemnych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ ab+bc+cd \le \frac{1}{4}}\).
21) Wykaż, że do dowolnej liczby naturalnej w zapisie dziesiętnym można dopisać pewną liczbę cyfr tak, aby otrzymać sześcian liczby naturalnej.
22) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami dodatnimi, to w przedziale \(\displaystyle{ \left[x,x+y+ \frac{x}{y}+1 \right]}\) leży co najmniej jeden kwadrat liczby całkowitej.
Rozwiązane 23) Udowodnij, że dla dowolnego naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{0}+ \sqrt{1} }+ \frac{1}{\sqrt{1}+ \sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{2}+ \sqrt{3}}+...+ \frac{1}{\sqrt{n-1}+ \sqrt{n}}= \sqrt{n}}\).
24) Dane są liczby dodatnie a,b,c oraz liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\). Wykaż, że funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=a(x-x_{1})(x-x{2})+b(x-x_{2})(x-x{3})+c(x-x_{3})(x-x{1})}\)
ma pierwiastek rzeczywisty.
25) Iloczyn pewnych dwoch liczb dodatnich całkowitych jest podzielny przez ich sumę. Wykaż, że w rozkładzie tej sumy na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych wszystkie wykładniki są większe od \(\displaystyle{ 1}\).
Rozwiązane 26)Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\). Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ (a+b+c)\cdot c < 0}\), to równanie \(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c=0}\) ma pierwiastek rzeczywisty.
27) Danych jest \(\displaystyle{ 2n}\) liczb dodatnich mniejszych od \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że suma pewnych \(\displaystyle{ n}\) z danych liczb jest większa od sumy \(\displaystyle{ n}\) pozostałych o mniej niż \(\displaystyle{ M}\).