Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y ^{''} = \frac{1}{x}}\)

Czy ktos umie to rozwiazac metoda Laplace'a? Nie ma do tego warunkow poczatkowych, wiec moze jest na to inny sposob?
Potrzebne jest rozwiazanie szczegolne i ogolne.

Jeśli w zadaniu nie ma warunków początkowych, to przyjmujesz \(\displaystyle{ y(0)=a,\ y'(0)=b}\).

Oczywiście tutaj nie trzeba wcale sięgać po Laplace'a - wynik otrzymuje się wprost całkując dwukrotnie:

\(\displaystyle{ y ^{''} = \frac{1}{x}\ \to\ y'=\int y''dx=ln|x|+a\ \to\ y=\int y'dx}\)
Trzeba rozpatrzeć dwa przedziały (bo modułu nie da się calkować):

\(\displaystyle{ x>0\ \to\ y(x)=\int (ln x+a)dx=...=(lnx-1)x+ax+b}\)

\(\displaystyle{ x<0\ \to\ y(x)=\int (ln(- x)+a)dx=...=(ln(-x)-1)x+ax+b}\)

czyli ostatecznie: \(\displaystyle{ y(x)=(ln|x|+a)x+b}\)

Rozwiązania szczególne otrzymujesz podstawiając coś za a i b (np a=b=0)

Pozdrawiam.