Matematyka.pl

Witam, mam problem: mianowicie nie wiem jak wyznaczać styczne do okręgu, elipsy, hiperboli i paraboli poprowadzonej z jakiegoś punktu.

np.:

1. Wyznaczyć równanie stycznej do okręgu \(\displaystyle{ (x - 9)^{2} + (y - 7)^{2} = 25}\)poprowadzonej z punktu Q = (2,−3).
2. Napisać równanie (równania) stycznej do elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}=1}\) poprowadzonej z punktu Q = (−3, 0);
3. Napisać równanie (równania) stycznej do hiperboli \(\displaystyle{ x^{2} - 4y^{2} - 4 = 0}\) poprowadzonej z punktu P = (1, 0);
4. Napisać równanie stycznej do paraboli \(\displaystyle{ y = 2x^{2}}\) poprowadzoną z punktu Q = (−1,−1);

Tym bardziej nie wiem, jak wyznaczyć styczną prostopadłą/równoległą do zadanej prostej...
np.:

1. Napisać równanie (równania) stycznej do elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3}=1}\) która jest prostopadła do prostej x + y − 10 = 0.
2. Napisać równanie (równania) stycznej do hiperboli \(\displaystyle{ 2x^{2} - 5y^{2} = 30}\) i równoległej do prostej y = −x + 3.
3. Napisać równanie stycznej do paraboli \(\displaystyle{ y^{2}=4x}\), która jest prostopadła do prostej x + 2y = 6.

Oczywiście nie oczekuje rozwiązanie powyższych zadań, ale wskazówek(algorytmów) jak je rozwiązać. A podałem przykładowe, bo na przykładach najlepiej wszystko widać.

A) Całe tak samo.
1) szukana to \(\displaystyle{ y=ax+(-3-2a)}\) (bo idzie przez dany punkt)
Układ : (styczna - krzywa) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

B) Całe tak samo.
1) szukana to \(\displaystyle{ y=+1x+b}\) (bo jest prostopadła do danej)
Układ : (styczna - krzywa) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

piasek101 pisze:A) Całe tak samo.
1) szukana to \(\displaystyle{ y=ax+(-3-2a)}\) (bo idzie przez dany punkt)
Układ : (styczna - krzywa) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

B) Całe tak samo.
1) szukana to \(\displaystyle{ y=+1x+b}\) (bo jest prostopadła do danej)
Układ : (styczna - krzywa) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

ale jak wyliczyć w przypadku A parametr a, a w przypadku B parametr b?

Poza tym, będą chyba po dwie styczne zawsze?

jj09 pisze: ale jak wyliczyć w przypadku A parametr a, a w przypadku B parametr b?
Poza tym, będą chyba po dwie styczne zawsze?

przecież piasek101 pisze:Układ : (styczna - krzywa) ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

Z tego dostaniesz (a) lub (b) - będzie trzeba założyć coś na temat delty - i z tego warunku wyjdzie.

Stycznych najczęściej wychodzi dwie - i z tego co napisałem będzie (najczęściej) dwa rozwiązania.

sorry piasek101, ale ja zupełnie nie mam pomysłu jak wykorzystać (co podstawić) do tych równań które podałeś...

B)
1.Masz równania :
\(\displaystyle{ 3x^2+5y^2=15}\) (pomnożyłem pierwsze przez 15) oraz \(\displaystyle{ y=x+b}\) drugie wstawiasz do pierwszego, jest

\(\displaystyle{ 3x^2+5(x+b)^2=15}\) (kwadratowe,przekształcić, aby miało jedno rozwiązanie ma być \(\displaystyle{ \Delta=0}\))

styczna prostopadła/równoległa do danej prostej

Masz daną prostą o równaniu y=ax+b
Jaki współczynnik kierunkowy będzie miała prosta prostopadła do tej danej? A równoległa?

Równanie stycznej:
\(\displaystyle{ y - y+0 = f'(x_0)(x-x_0)}\), współczynnik kierunkowy stycznej to pochodna pierwszego stopnia funkcji, do której liczysz styczną. Podstawiając do pochodnej za x (I współrzędna punktu, w którym wyznaczasz styczną) otrzymasz ten współczynnik (tangens kąta nachylenia do osi OX).
Jeśli znasz wsp. kierunkowy stycznej układasz równanie:
pochodna funkcji = wsp. kierunkowy
i dasz radę wyliczyć współrzędną iksową punktu, w którym liczysz styczną. Podstawiając otrzymaną współrzędną do wzoru funkcji otrzymasz wartość funkcji dla tego argumentu - czyli punkt, w którym wyliczasz styczną (P=(x,y)).

PS: nie możesz szukać stycznej do okręgu za pomocą pochodnej, bo okrąg nie jest funkcją, ale do paraboli owszem
Wyznacznik równania kwadratowego (delta) pomoże Ci wyznaczyć styczną np. do paraboli, hiperboli

marty pisze:... współczynnik kierunkowy stycznej to pochodna pierwszego stopnia funkcji...

Trzeba zauważyć, że krzywe w zadaniu nie są funkcjami.

[edit] Po poprawieniu (nieco) wcześniejszego.
W zadaniu żadna krzywa nie jest funkcją.

A dla paraboli?

marty pisze:A dla paraboli?

Nie każda parabola jest funkcją - akurat ta z zadania nie jest.

Dla jasności - sposób z pochodną można tu wykorzystać ale najpierw trzeba z tych ,,niefunkcji" porobić funkcje i rozpatrywać różne przypadki.
Sposób podany przeze mnie (jednakowy dla wszystkich podpunktów) wydaje się (przecież zadania nie robiłem) być wygodniejszy.

Nie negowałam Twojego sposobu. Przy choćby okręgach ten, który podałam nie działa.
Piszesz o tej paraboli z zadania 4 z serii pierwszej?

marty pisze:Nie negowałam Twojego sposobu. Przy choćby okręgach ten, który podałam nie działa.
Piszesz o tej paraboli z zadania 4 z serii pierwszej?

Napisałaś to po moim - o tych okręgach.
Oczywiście ta z A)4) jest funkcją - przeoczyłem ją - czyli nie ,,każda" nie jest funkcją - sorki.
Patrzyłem na parabolę B)3).

piasek101, co do wyznaczania stycznej prostopadłej/równoległej do prostej to rachunki są w miare, ale w przypadku punktu z którego jest poprowadzona styczna jak wychodzi równanie:
\(\displaystyle{ \Delta = (-4a^{2} - 20a - 18)^{2} - 4(a^{2} + 1)(4a^{2}+40a+156)}\)
to już łatwo nie jest...

może jest jakiś łatwiejszy sposób?

Jak się ślimaczy to można kombinować.
Np. A)1)
Odległość szukanej od danego środka okręgu ma być równa 5.

A)2)3) Tam gdzie punkt ma współrzędną zero nie powinno być kłopotu.
A)4) Funkcja ma łatwą postać.

nie wiem, czy mogę zabrać głos w w.w. sprawie ,jednak ryzykuję:
1. sprawa pisania równania prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(x_o,y_o)...L: y-y_o=a(x-x_o)}\)
2.równanie prostej \(\displaystyle{ L\parallel{K}}\) gdy
a) K jest dana dana równaniem kierunkowym \(\displaystyle{ y=ax+b : wtedy L : y=ax+b_1}\)
(a jest znane ,bo prosta K jest dana)
b) K jest dana równaniem ogólnym :Ax+By+C=0 wtedy \(\displaystyle{ L :...Ax+By+C_1=0}\) (A,B są znane, bo prosta Kjest dana)
3. równanie prostej prostopadłej do danej prostej K
a) danej ja w 2a) wtedy L ; \(\displaystyle{ y= \frac{-1}{a}x+b_1}\)
b) danej jak w2b) wtedy L: \(\displaystyle{ -Bx+Ay+C_1=0}\)
teraz sprawa stycznych.
*do okręgu-najwygodniej, jak podpowiada Piasek , odległość prostej od środka okręgu =r
**do elipsy :układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} równanie.. elipsy \\ równani ..prostej \end{cases}}\)
ma dokładnie jedno rozwiązanie
***do paraboli: układ ;\(\displaystyle{ \begin{cases}parabola \\ prosta \end{cases}}\) ma dokładnie jedno rozwiąz. i prosta nie jest równoległa do osi paraboli
****do hiperboli : układ \(\displaystyle{ \begin{cases} hiperbola \\prosta \end{cases}}\) ma dokładnie jedno rozw. i prosta nie jest równoległa do asymptoty.
tyle-może to jest jakieś uporządkowanie pow. dyskusjii