Matematyka.pl

Trafilem na dziwne zadanko i nie wiem jak sie do niego zabrac - podobno z matematyki finansowej:

Wyznacz n dla ktorego:

\(\displaystyle{ 1+ \frac{ i^{(n)} }{n} = \frac{ 1+ \frac{ i^{(4)} }{4} }{ 1+ \frac{ i^{(12)} }{12} }}\)

Co oznaczają te liczby w nawiasach?

Potegi. Podejrzewam ze rownie dobrze tych nawiasow moze nie byc.

Co oznacza"i" Czy to jednostka urojona?

Równanie wcale nie jest dziwne...

na początek kilka wyjaśnień:

i - to stopa procentowa;
indeks górny (n) oznacza ile razy w ciągu roku stopa jest kapitalizowana, czyli np \(\displaystyle{ i^{(4)}}\) oznacza, że stopa procentowa jest kapitalizowana 4 razy w ciągu roku, czyli co 3 miesiące (stopa kap. kwartalnie);
Gdyby indeks był dolny, wówczas mamy informację: co ile lat jest kapitalizacja (zamiast pisać w indeksie górnym ułamki - stosuje się po prostu indeks dolny)

Aby określić wysokość stopy % w ciągu roku, musimy podzielić stopę przez liczbę w indeksie, np \(\displaystyle{ i^{(4)}/4}\), czyli np \(\displaystyle{ i^{(4)}=8}\)% to i=\(\displaystyle{ 0,08^{(4)}/4 = 0,02}\)


a teraz zadanie...
rozwiązać się go jako tako nie da , należy najpierw poczynić założenie...

Załóżmy, że \(\displaystyle{ i=12}\)% (nie mają tu znaczenia liczby w indeksach górnych! )

Teraz wracamy do głównego równania:
\(\displaystyle{ 1+ \frac{ i^{(n)} }{n} = \frac{ 1+ \frac{ i^{(4)} }{4} }{ 1+ \frac{ i^{(12)} }{12} }}\)

\(\displaystyle{ 1+ \frac{0,12}{n} = \frac{ 1+ \frac{0,12}{4} }{ 1+ \frac{0,12}{12} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{0,12}{n} = \frac{ 1,03}{ 1,01 }-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{0,12}{n} = 0,0198}\)

\(\displaystyle{ n = \frac{0,12}{0,0198}}\)

\(\displaystyle{ n = 6}\)

A żeby nie musieć dla każdego \(\displaystyle{ i}\) z osobna liczyć, co można uznać za upośledzenie, wystarczy zauważyć, że rozwiązaniem tego równania jest:

\(\displaystyle{ n=6+\frac i2}\)