Matematyka.pl

Musze napisać funkcję tworzącą do takiego zadania:

\(\displaystyle{ a_1=0, a_2=1,\ a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=a_1x+a_2x^2+\sum_{n=3}^{\infty}a_nr^n=}\)

\(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+2}r^{n+2}=}\)

\(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+\sum_{n=1}^{\infty}(2a_{n+1}-a_n)x^{n+2}=}\)

\(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+2x\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}x^n-x^2\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=}\)

\(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+2x(f(x)-a_1)-x^2f(x)=}\)

\(\displaystyle{ 0+1x^2+2x(f(x)-0)-x^2f(x)= x^2+2xf(x)-x^2f(x)}\)

\(\displaystyle{ x^2+2xf(x)-x^2f(x)=f(x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2}{1+x^2-2x}}\)

Taka wyszła mi funkcja tworząca. Bardzo proszę o sprawdzenie czy dobrze to rozwiązałem?

Tam ma być od \(\displaystyle{ n=0}\), popraw to najpierw

no właśnie tutaj mam problem, bo nie wiedziałem jak to zrobić dokładnie dlatego że przy znaku sumy "n" zaczynają się od 0, a w zadaniu mam podane wyrazy od a1 i a2. Przez to zrobiłem te n od 1 bo później gdy dochodzę do podstawień mam wyraz a0 i nie wiedział bym co pod niego podstawić???

\(\displaystyle{ a_0=-1}\) ze wzoru rekurencyjnego, chociaż sam nie jestem pewien czy tak będzie poprawnie.

Poprawiłem ten przykład, zapomniałem też dopisać x ale już jest ok. A co do tego n = 0, to suma jest po prostu przesunięta o jedną cyferkę ciąg się zaczyna od wyrazu 1 a nie 0. Tak zapisuje to moja doktorka. Wydaje mi się że to nie ma znaczenia. Sposób w jaki to liczę sprawdziłem na innym zadaniu które rozwiązał mój kolega (rozwiązał innym sposobem) wynik się zgada dlatego myślę że jest dobrze. Co ty myślisz o tym?

Ok, to teraz jeszcze powiedz czego raz piszesz \(\displaystyle{ r}\) a raz \(\displaystyle{ x}\) ?
W jednym miejscu jest \(\displaystyle{ x^{n+2}}\) zgubione.