Matematyka.pl

W ciele \(\displaystyle{ C}\) rozwiązać równianie:

\(\displaystyle{ z^{2}-(3-2i)z+(5-5i)=0}\)

Wdzięczna za pomoc,
ANiA

To jest zwykłe równanie kwadratowe, więc w czym problem?

problem w tym że \(\displaystyle{ \Delta=8i-15}\) i już dalej nie wiem co z tym zrobić.. pomocy
ANiA

Wystarczy, że znajdziesz przykładowy pierwiastek z delty (są tylko dwa pierwiastki i jeden jest liczbą przeciwną do drugiego, więc wszystko jedno, który wykorzystasz do obliczeń).

Tu raczej nie warto korzystać z postaci trygonometrycznej i twierdzenia o pierwiastkach z liczby zespolonej, lepiej użyć postaci algebraicznej: szukamy pierwiastka z wyróżnika, czyli takiej liczby \(\displaystyle{ z=a+bi}\), że \(\displaystyle{ z^{2}=-15+8i}\)
Warunek ten zapisujemy w postaci
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=-15+8i}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=-15+8i}\)
Korzystając z kryterium równości liczb zespolonych (\(\displaystyle{ z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow Re(z_{1})=Re(z_{2}) \wedge Im(z_{1})=Im(z_{2})}\)), otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=-15 \\ ab=4 \end{cases}}\)
Bierzesz jedno z rozwiązań tego układu, czyli np. \(\displaystyle{ a=1,b=4}\) i do dalszych obliczeń przyjmujesz \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=1+4i}\)