Matematyka.pl

Witam Was wszystkich, mam problem ze zrozumieniem jednej kwestii. Chcę przewidzieć całkę szczególną równania różniczkowego; co robie- patrze na pierwiastki równania charakterystycznego, dajmy na to że wychodzą \(\displaystyle{ r1=0, r2=1, r3=-1}\) Następnie patrze na funkcję f(x)- jest postaci \(\displaystyle{ Ax ^{2}+Bx+V}\) jej miejsca zerowe nie są zgodne z pierwiastkami równania charakterystycznego. Czyli przewiduje zwykłą funkcję kwadratową... zgadza się?

No ale wyliczając całkę, robię sobie sprawdzenie, liczę kolejne pochodne, podstawiam, a tu kicha- nie zgadza się.

Dochodzę do wniosku, że musi być jeszcze przewidywana funkcja pomnożona przez x- wtedy się zgada.

Czy ma być pomnożona z tego względu, że funkcja o której tutaj sobie debatuje posiada rząd=3 czy jest inny powód?

Moze pokaz, jak wyglada to rownanie...

proszę-, ale nie chce rozwiązania tylko takiej ogólnej odpowiedzi

\(\displaystyle{ y ^{'''} -y ^{'} =3(2-x ^{2})}\)

YYssYY pisze:proszę-, ale nie chce rozwiązania tylko takiej ogólnej odpowiedzi

\(\displaystyle{ y ^{'''} -y ^{'} =3(2-x ^{2})}\)

Byles tutaj: ... czynnikach? Zdaje sie, ze nie trzeba tutaj nic przewidywac, a mozna to po prostu brutalnie, algorytmicznie policzyc.

Można, ale jest to w takich przypadkach bardziej pracochłonne.
A przewidywać należy coś takiego: \(\displaystyle{ x (A x^2 + B x + C)}\).

luka52 pisze:Można, ale jest to w takich przypadkach bardziej pracochłonne.
A przewidywać należy coś takiego: \(\displaystyle{ x (A x^2 + B x + C)}\).

To jest, ze sie tak wyraze, oczywiste, ze tam musi byc wielomian stopnia 3-go i zadnego innego. Popatrz na lewa strone rownania. Przeciez pochodna redukuje wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) do wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n-1}\)... To powinno byc wystarczajaca wskazowka, jakiego wielomianu uzyc...

no ok, czyli rząd pochodnej ma znaczenie. no to może patrzeć tylko na rząd? po co zwracać uwagę na pierwiaski równania charakterystycznego? może być taki przypadek że będzie przewidziany trójmian gdy po lewej jest jedynie y' ?

Ogólnie ma to związek z pierwiastkami równania charaketrystycznego. Jeżeli po prawej masz ogólne wyrażenie postaci \(\displaystyle{ e^{\alpha x} (W_n(x) \cos \beta x + V_n (x) \sin \beta x)}\) i \(\displaystyle{ \alpha +i \beta}\) jest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to należy przewidywać wyrażenie postaci: \(\displaystyle{ x^m e^{\alpha x} ( M_n (x) \cos \beta x + N_n (x) \sin \beta x)}\). W Twoim przykładzie jest \(\displaystyle{ \alpha + i\beta \equiv 0}\) i 0 jest 1-krotnym pierwiastkiem r. charakterystycznego - stąd mnożenie przez x.

no ale to jest dla mnie takie płytkie, no bo \(\displaystyle{ x^{0} =1}\) spoko, ale kiedy z tego korzystać, tak na czuja? bo mam przykład gdzie r1=0 i r2=1 , pierwiastkiem funkcji liniowej jest 1. No to przewidujemy liniową \(\displaystyle{ \cdot x}\) i to jest poprawne. ale \(\displaystyle{ 0}\) też jest pierwiastkiem char. To czemu nie razy\(\displaystyle{ x ^{2}}\)? Czy możesz mi napisać że jak po lewej mam najwyższy rząd=2 to dlatego nie moge przewidzieć \(\displaystyle{ Ax ^{3} + Bx ^{2}+Cx+D}\)?

YYssYY pisze:no ale to jest dla mnie takie płytkie, no bo \(\displaystyle{ x^{0} =1}\) spoko, ale kiedy z tego korzystać, tak na czuja? bo mam przykład gdzie r1=0 i r2=1 , pierwiastkiem funkcji liniowej jest 1. No to przewidujemy liniową \(\displaystyle{ \cdot x}\) i to jest poprawne. ale \(\displaystyle{ 0}\) też jest pierwiastkiem char. To czemu nie razy\(\displaystyle{ x ^{2}}\)? Czy możesz mi napisać że jak po lewej mam najwyższy rząd=2 to dlatego nie moge przewidzieć \(\displaystyle{ Ax ^{3} + Bx ^{2}+Cx+D}\)?

Sprawa jest prostsza niz sie wydaje. Jesli po prawej stronie jest jakis wielomian i tylko wielomian, to patrzysz na lewa strone, bierzesz najmniejszy rzad pochodnej tam wystepujacy (zakladam, ze to rownanie rozniczkowe ze stalymi wspolczynnikami) i wnioskujesz, ze rozwiazanie szczegolne bedzie postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^Ka_nx^n}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest rzad wielomianu po prawej stronie + minimalny rzad pochodnej po lewej stronie.

no za to co mi tu darlove, w ostatnim poście napisałeś, zimno piwko ! dzięks,



________________
można zamykać