Matematyka.pl

W urnie znajduje sie cztery kule białe i sześc kul czarnych. Wyjmjemy losowo jedna kulę, po czym zwracamy ja do urny i dosypujemy jescze piec kul tego samego koloru. nastepnie podownie wyjmujemy losowo jedna kule. oblicz prawdopodobienstwo, ze bedzie to kula czarna.

no wiec za pierszym razem wylosowanie czarnej wiąze sie z prawdopodobienstwem 6/10 a bialej 4/10 w drugim lowowaniu po dosypaniu czarnych (za pierwszym razem musiała być czarna) 10/14. po dosypaniu bialych czarna losujemy z prawodpodobienstewem 6/14
P(C)=0,6*10/14+0,4*6/14=0,6

Ale jeśli te kule wrzucamy ponownie do urny, to w drugim losowaniu bedzie odpowiednio 11/15 i 6/15.

to będzie wyglądało mniej więcej tak:

ROZWIĄZANIE:

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie takie, że w drugim losowaniu wyjmujemy kulę czarną
\(\displaystyle{ B_{1}}\) - zdarzenie takie, że za pierwszym razem wylosowano kulę białą
\(\displaystyle{ B_{2}}\) - zdarzenie takie, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną

\(\displaystyle{ P(B_{1})=\frac{4}{10}}\)
\(\displaystyle{ P(B_{2})=\frac{6}{10}}\)

teraz dosypujemy 5 odpowiednich kul

\(\displaystyle{ P(A/B_{1})=\frac{6}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(A/B_{2})=\frac{11}{15}}\)

Na mocy twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy :

\(\displaystyle{ P(A)=P(B_{1})\cdot{P(A/B_{1})}+P(B_{2})\cdot{P(A/B_{2})}\\P(A)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{15}+\frac{6}{10}\cdot\frac{11}{15}\\P(A)=\frac{24}{150}+\frac{66}{150}=\frac{90}{150}\\P(A)=\frac{3}{5}\\}\)