Matematyka.pl

Jak rozwiązać te zadania?
1) W przestrzeni trójwymiarowej \(\displaystyle{ R\{ 1, \cos x, \sin x \}}\) mamy określony endomorfizm \(\displaystyle{ T(a+b \cos x+c \sin x) = b+c+(-a+2b+c) \cos x+(a-b) \sin x}\).
a) znajdź bazy jądra T, obraz T
b) \(\displaystyle{ T^{-1} (2+\cos x+\sin x)=?}\)

2)Dla endomorfizmu \(\displaystyle{ S: W \to W W= R \{1,cos x\}}\) reprezentowanego (w podanej bazie_ przez macierz
0 1
-1 2
znajdź reprezentacje macierzową w bazie \(\displaystyle{ (\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} \cos x, \tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{2} \cos x)}\)

3)Czy dla endomorfizmu T(z zadania 1) istnieje baza w której T jest reprezentowane przez macierz diagonalną. Jeśli tak to znajdź tą bazę i wskaż tą bazę.

1) W przestrzeni trójwymiarowej R{1, cosx, sinx} mamy określony endomorfizm T(a+b*cosx+c*sinx) = b+c+(a-2b+c)cosx+(a-b)sinx.
a) znajdź bazy jądra T, obraz T

ker T (jadro) stanowia te elementy u=a+b*cosx+c*sinx ze T(u)=0 tj robisz uklad
b+c=0
a-2b+c=0
a-b=0

b) T^{-1} (2+cosx+sinx)=?

calkiem podobnie, tu masz uklad
b+c=2
a-2b+c=1
a-b=1

Właśnie z rozwiązaniem układu mam problem.
Poprawilem: (a-2b+c) na (-a+2b+c)

w a wchodzi mi macierz
1 0 1
0 1 1
i co dalej z tym?

w b:
1 0 1 |3
0 1 1 |2
i co dalej?

Cytuj:
b) T^{-1} (2+cosx+sinx)=?

T^{-1} (2+cosx+sinx)= \(\displaystyle{ a+(a-1)cos(x)+(3-a)sin(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in R}\)