Równanie liniowe niejednorodne

[crew1988]

Witam
Mam problem z rozwiązaniem danego zadania:(
Rówanienei liniowe niejednorodne:
\(\displaystyle{ xy' + 3y = x ^{2}}\)

Prosiłbym serdecznie o rozwiazanie danego zadania krok po kroku, gdyz chce zrozumiec analogie jego rozwiązywania. Z góry serdecznie dziekuję

[meninio]

Krok po kroku to na forum znajdziesz tego typu przykłady.
Tak w skrócie:
1. Dzielimy obustronnie przez x i otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne: \(\displaystyle{ y'+3\frac{y}{x}=x}\)
2. Teraz rozwiązujemy równanie jednorodne: \(\displaystyle{ y'+3\frac{y}{x}=0}\) - jest to równanie o rozdzielonych zmiennych.
3. W wyznaczonym rozwiązaniu z pkt. drugiego uzmienniamy stałą i wstawiamy ją do równanie wejściowego, w celu wyznaczenia uzmiennionej stałej.

[gufox]

\(\displaystyle{ xy' + 3y = x ^{2}}\)

Krok po kroku

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+3 \frac{y}{x} =x}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} + \frac{3y}{x}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{y}=-3dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dy}{y}=-3\int dx}\)

\(\displaystyle{ ln|y|=-3x+C}\)

\(\displaystyle{ ln|y|=lne ^{-3x}+lnC}\)

\(\displaystyle{ y=e ^{-3x}+C}\)

\(\displaystyle{ y=C(x)e ^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ y'=C'(x)e ^{-3x}-3C(x)e ^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ x(C'(x)e ^{-3x}-3C(x)e ^{-3x}) +3C(x)e ^{-3x}=x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ C'(x)e ^{-3x}=x ^{2}}\)

\(\displaystyle{ C(x)=\int \frac{x ^{2} }{e ^{-3x} }= \frac{1}{27}e ^{3x}(9x ^{2}-6x+2)+C}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{27}(9x ^{2}-6x+2)+Ce ^{-3x}}\)