Matematyka.pl

Witam wszystkich użytkowników

Podczas rozwiązywania jednego z zadań ( dotyczące właśnie podzielności ) zatrzymałem się nad jedną rzeczą ... a mianowicie, w jaki sposób udowodnić, że \(\displaystyle{ 2003|1+2^{1001}}\) ? Ma ktoś jakiś pomysł?

Aby \(\displaystyle{ 2003|1+2^{1001}}\), musi zachodzić \(\displaystyle{ 2002|2^{1001}}\). No a \(\displaystyle{ 2^{1001}}\) na pewno dzieli się przez 2 oraz przez 1001 (bo to po prostu iloczyn 1001 dwójek), zatem jest podzielne także przez iloczyn tych liczb - 2002.

Najlepiej policzyć to siłowo, korzystając z kongruencji i wtedy wyjdzie
czeslaw, a od kiedy \(\displaystyle{ 2^n}\) dzieli się przez liczbę nieparzystą? Ponadto z tego, że \(\displaystyle{ 2003|2^{1001}+1}\) nie można wnioskować, że \(\displaystyle{ 2002|2^{1001}}\), (bo według Ciebie z podzielności np. \(\displaystyle{ 5|5^2}\) wynika \(\displaystyle{ 6|5^2+1}\))

@kubek1, na początku też tak próbowałem, ale to chyba bez sensu ... na pewno jest na to łatwiejszy sposób niż męczenie się nad mnożeniem pisemnym

Niestety, takiego nie ma. 2003 jest liczbą pierwszą, a więc z MTF wiadomo, że \(\displaystyle{ 2003|2^{2002}-1}\), dlatego trzeba to robić siłowo.

Poprawiłem

O kurde. Nieźle. Nie wiem o czym ja myślałem.

Tam wyżej zdarzyła się literówka - z MTF wiadomo, że \(\displaystyle{ 2003\mid 2^{2002} - 1.}\)
Uzasadnienie bez potęgowania stronami kongruencji można uzyskać wiedząc trochę o resztach kwadratowych:
\(\displaystyle{ 2003\equiv 3\pmod{8},}\) w związku z tym \(\displaystyle{ 2}\) jest nieresztą kwadratową \(\displaystyle{ \mod 2003,}\) (co wynika np z ) zatem z :
\(\displaystyle{ 2^{1001}=2^{\frac{2003 - 1}{2}} \equiv -1 \pmod{2003}.}\)