Matematyka.pl

Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x^{2}+6x+16}\) z osiami układu współrzędnych.

Musisz znaleźć miejsca zerowe tej funkcji: punkty A,B, takie, że \(\displaystyle{ f(x_{A})=0}\) i \(\displaystyle{ f(x_{B})=0}\) oraz miejsce przecięcia funkcji z osią OY: punkt C, taki, że \(\displaystyle{ f(0)=y_{C}}\)

Z delty wyliczasz miejsca zerowe, zdaje się, że wychodzi -5 i -1, natomiast f(0)=16.

Masz więc punkty \(\displaystyle{ A(-5,0), B(-1,0), C(0,16)}\). Jak chcesz, to to sobie narysuj. |AB| to podstawa trójkąta, jego wysokość to 16, łatwo ze wzoru na pole trójkąta obliczyć, że \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 16 = 32}\)

przeciecie z osia x to miejsca zerowe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^2+6x+16=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=4}\), \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=2}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{-6-2}{1} = -8}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{-6+2}{1} = -4}\)


przeciecie z osia y \(\displaystyle{ y(0)= \frac{1}{2} \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 16 = 16}\)



\(\displaystyle{ A=(-8, 0)}\)
\(\displaystyle{ B=(-4, 0)}\)
\(\displaystyle{ C=(16, 0)}\)


\(\displaystyle{ |AB| = \sqrt{(-4+8)^2+(0-0)^2} = \sqrt{16}=4}\)

\(\displaystyle{ |BC| = \sqrt{(0+4)^2+(16-0)^2} = \sqrt{16+256} = \sqrt{272}=4 \sqrt{17}}\)

\(\displaystyle{ |AC| = \sqrt{(0+8)^2 + (16-0)^2} = \sqrt{64+256} = \sqrt{320} = 8 \sqrt{5}}\)


\(\displaystyle{ P= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \ gdzie \ p= \frac{1}{2}(a+b+c)}\)


\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(4 \sqrt{17}+8 \sqrt{5}+4) = 2 \sqrt{17}+4 \sqrt{5}+2}\)


\(\displaystyle{ P= \sqrt{(2 \sqrt{17}+4 \sqrt{5}+2)(-2 \sqrt{17}+4 \sqrt{5}+2)(2 \sqrt{17}-4 \sqrt{5}+2)(2 \sqrt{17}+4 \sqrt{5}-2)} = \sqrt{1024}=32}\)

agulka, nie musiałaś używać wzoru herona, przecież masz podstawę i wysokość

Kurde, nie ustrzegłem się błędu (i to w liczeniu pierwiastków równania...), ale mój sposób wydaje się być prostszy.