Matematyka.pl

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i wysokość jego ściany bocznej tworzą kąt Q, taki że sinus Q = \(\displaystyle{ \frac{5}{13}}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, jeśli jego wysokość jest rowna 12cm

Kąt Q jest zawarty między wysokością H = 12cm ostrosłupa a wysokością h ściany bocznej ostrosłupa. Powstaje trójkąt prostokątny o bokach H,h i x, gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}a}\), a-krawędź podstawy.

Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \sin{Q}=\frac{5}{13}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin{Q}=\frac{x}{h} \Rightarrow \frac{5}{13}=\frac{x}{h} \Rightarrow x=\frac{5}{13}h}\)

Z drugiej strony z tw Pitagorasa: \(\displaystyle{ x^2+H^2=h^2}\)

czyli \(\displaystyle{ (\frac{5}{13}h)^2+12^2=h^2 \Rightarrow \frac{144}{169}h^2=144 \Rightarrow h=13}\)

\(\displaystyle{ x=5 \Rightarrow a=2x=10}\)

\(\displaystyle{ P_c=2P_p+P_b}\)

\(\displaystyle{ P_p=a^2=100}\)

\(\displaystyle{ P_b=4 \cdot \frac{1}{2}a \cdot h = 2 \cdot 10 \cdot 13=260}\)

\(\displaystyle{ P_c=2 \cdot 100+260=460}\)