Matematyka.pl

Witam !

1. Dla jakich \(\displaystyle{ n \in N_{+}}\) liczby \(\displaystyle{ 2^{n+1}-1}\) i \(\displaystyle{ 2^{n-1}(2^{n}-1)}\) są jednocześnie sześcianami liczb naturalnych ?
2. Wykazać, że z każdego 9-elementowego podzbioru zbioru {1,2,3,...,15,16} można wybrać takie dwie liczby a i b, że liczba \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) jest liczbą pierwszą.

1.
\(\displaystyle{ 2^{n-1}(2^{n}-1)}\)
Aby była sześcianem to 2 musi występować w potędze będącej wielokrotnością 3 (wyrażenie w nawiasie jest nieparzyste!)
\(\displaystyle{ n-1=3k \Rightarrow n=3k+1}\) dla \(\displaystyle{ k \in N}\)
Podstawiamy do pierwszego:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=2^{3k+2}-1}\)

Zbadajmy teraz reszty mod 7 jakie może dawać to wyrażenie:
\(\displaystyle{ 2 \equiv 2}\)
\(\displaystyle{ 2^{2} \equiv 4}\)
\(\displaystyle{ 2^{3} \equiv 1}\)
\(\displaystyle{ 2^{4} \equiv 2}\)
\(\displaystyle{ 2^{5} \equiv 4}\)
....
etc:
(dla piękna i estetyki warto dowód indukcyjny wykonać)
Ogólnie:
\(\displaystyle{ 2^{3k+2}\equiv 4 \ (mod \ 7)}\)
Teraz nasze wyrażenie:
\(\displaystyle{ 2^{3k+2}-1\equiv 3 \ (mod \ 7)}\)

Sprawdzamy czy 3 może być resztą sześcienna wg modułu 7.
\(\displaystyle{ 1^{3} \equiv 1 \ (mod \ 7)}\)
\(\displaystyle{ 2^{3} \equiv 1 \ (mod \ 7)}\)
etc.
Nie moze być zatem i naszego układu nie spełnia żadna liczba.

2. Podzielmy dane liczby na \(\displaystyle{ 8}\) par: \(\displaystyle{ (1,16),(2,15),(3,10),(4,11),(5,6),(7,12),(8,13),(9,14)}\).

Suma kwadratów liczb z każdej pary jest liczbą pierwszą, zaś dowolna dziewiątka liczb musi zawierać co najmniej jedną parę.

\(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=a^3 \Leftrightarrow
2^{n+1}=a^3+1=(a+1)(a^2+a+1) \Leftrightarrow
2|(a^2+a+1)}\)
co daje oczywista sprzecznosc

SchmudeJanusz pisze:\(\displaystyle{ 2^{n+1}-1=a^3 \Leftrightarrow
2^{n+1}=a^3+1=(a+1)(a^2+a+1) \Leftrightarrow
2|(a^2+a+1)}\)
co daje oczywista sprzecznosc

Od kiedy \(\displaystyle{ a^{3}+1=(a+1)(a^{2}+a+1)=a^{3}+2a^{2}+2a+1}\) ?
Pozdrawiam

To chyba literówka, albo niedopatrzenie. Nawet poprawiając błąd, rozwiązanie jest ok

RzecZywiscie literowka. Jak mozna sie domyslic, chodzilo o \(\displaystyle{ a^2-a+1}\)