Matematyka.pl

Wyznaczyć bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory:
a) (1,−1, 2) w przestrzeni \(\displaystyle{ E_{3}}\)

Chodzi mi o metodę - jak to robić? Z góry dzięki.

Pozdrawiam.

gdy mamy zestaw liniowo niezależnych wektorów rozpinających pewną przestrzeń, to ortogonalizacja Grama-Schmidta pozwala znaleźć jej bazę ortogonalną
\(\displaystyle{ v_{1}=\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}}\) , weźmy inne dowolne 2 wektory (v2 i v3) tak żeby v1 v2 i v3 tworzyły bazę naszej przestrzeni
może być \(\displaystyle{ v_{2}=\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ v_{3}=\begin{bmatrix} 0&1&0\end{bmatrix}}\)

u1 , u2 i u3 to będą wektory z bazy prostopadłej (których szukamy)

zgodnie z tą procedurą będzie:
\(\displaystyle{ u_{1}=v_{1}=\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}}\) - pierwszy wektor bazy prostopadłej, miał być w tej bazie, więc jest...
\(\displaystyle{ u_{2}=v_{2}-\frac{<v_{1},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix} -\frac{1*1+(-1)*0+2*0}{1*1+(-1)*(-1)+2*2}\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ =\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix}-\frac{1}{6} \begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{5}{6}& \frac{1}{6} & -\frac{2}{6}\end{bmatrix}}\)

można go pomnożyć przez 6, nie zepsuje to prostopadłości a uprości późniejsze rachunki
<v,w> oznacza iloczyn skalarny wektorów v i w

trzeci wektor zgodnie z tym algorytmem wyznacza się:
\(\displaystyle{ u_{3}=v_{3}-\frac{<v_{3},u_{2}>}{<u_{2},u_{2}>}u_{2}-\frac{<v_{3},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}= \dots}\) (policz sobie sam)
jak dobrze przeliczysz to będzie prostopadły do dwóch pozostałych...

myślę że bez trudu sam znajdziesz w googlach opis tego algorytmu dla dowolnej ilości wektorów rozpinających, jeśli tego potrzebujesz

mm34639 pisze: 31 maja 2009, o 23:57 \(\displaystyle{ u_{2}=v_{2}-\frac{<v_{1},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix} -\frac{1*1+(-1)*0+2*0}{1*1+(-1)*(-1)+2*2}\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}=}\)

tutaj \(\displaystyle{ v_{2}}\) powinno być w liczniku
\(\displaystyle{ u_{2}=v_{2}-\frac{<\red{v_{2}},u_{1}>}{<u_{1},u_{1}>}u_{1}=\begin{bmatrix} 1&0&0\end{bmatrix} -\frac{1*1+(-1)*0+2*0}{1*1+(-1)*(-1)+2*2}\begin{bmatrix} 1&-1&2\end{bmatrix}=}\)