[Teoria liczb] Podzielność i równość

[Piotrusg]

Mam taki problem : niech p i q będą liczbami naturalnymi. wiadomo ze zachodzi podzielność \(\displaystyle{ pq}\) dzieli \(\displaystyle{ p^2+q^2}\). Jak udowodnić że \(\displaystyle{ p=q}\) ?

[Artist]

\(\displaystyle{ pq|p^{2}+q^{2} \Rightarrow p|p^{2}+q^{2} \wedge q|p^{2}+q^{2}}\)

Najpierw \(\displaystyle{ p|p^{2}+q^{2}}\)
\(\displaystyle{ p|p^{2}}\), więc usi być także \(\displaystyle{ p|q^{2} \Rightarrow p|q}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ q|p^{2}+q^{2} \Rightarrow q|p^{2} \Rightarrow q|p}\)
\(\displaystyle{ p|q \wedge q|p \Leftrightarrow p=q}\)
c.k.d.

[Sylwek]

\(\displaystyle{ p|q^{2} \Rightarrow p|q}\)

Nie.

Niech \(\displaystyle{ d=NWD(p,q), \ p=da, \ q=db}\), wówczas: \(\displaystyle{ pq|(p^2+q^2) \iff ab|(a^2+b^2)}\), gdzie a,b są względnie pierwsze. I teraz powyższy dowód działa

[Artist]

Rzeczywiście. Dzięki za poprawke.

Pozdrawiam.