Matematyka.pl

Witam. Mam takie zadanie, które nie wiem jak rozwiązać:

Rozważmy macierz kwadratową stopnia nieparzystego taką, że dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j}\) zachodzi \(\displaystyle{ a _{ij} = - a _{ji}}\) (wynika stąd, że elementy na przekątnej są równe zero). Opierając się na definicji uzasadnij, że wyznacznik macierzy jest równy zero.

proszę o pomoc

Skorzystaj z równości wyznaczników danej macierzy i macierzy transponowanej. Z jednej strony mamy:
\(\displaystyle{ detA = det A^{T}}\)
Z drugiej strona macierz transponowana w tym przypadku powstaje przez pomnożenie każdego z wierszy przez (-1), stąd mamy (n to wymiar macierzy):
\(\displaystyle{ det A = (-1)^{n} det A^{T} = - det A^{T}}\)
ponieważ n jest nieparzyste. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ detA = - det A}\)
A to już jest koniec.