Dolnośląskie Mecze Matematyczne kilka zadań

[Citizen]

Mecze matematyczne to naprawde świetna zabawa. Zamieszczam trochę zadań z meczów. Głownie liceum, ale niektóre z meczów gimnazjalnych. Rodzaje zadań przeróżne, mile widzane wskazówki, rozwiązania jeszcze milej =D

1) Przez \(\displaystyle{ a_{n}}\) oznaczamy sumę liczb naturalnych mniejszych od\(\displaystyle{ n}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}}\)? - Rozwiązane

2) Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ x,y,z}\) będącymi bokami trójkąta wartość wyrażenia \(\displaystyle{ | \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}|}\) jest mniejsza od 1. - Rozwiązane

3) Rozwiąż w liczbach nieujemnych nierówność:
\(\displaystyle{ [x]+[y]+[x+y] \le [2x]+[2y]}\)
gdzie [a] oznacza część całkowitą liczby a. - Udzielona wskazówka

4) Liczby naturalne dodatnie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ ab=cd}\). Czy liczba \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) może być pierwsza? - Rozwiązane

5) Niech \(\displaystyle{ n \in N}\). Czy istnieje taka liczba naturalna dodatnia m, że zapis dziesiętny liczby mn składa się tylko z zer i jedynek? - Rozwiązane

6) Pokaż, że \(\displaystyle{ sin1+sin3+sin5+.......+sin99= \frac{sin^{2}50}{sin1}}\). (chodzi oczywiście o sin1 stopień itd.) - Rozwiązane

7) Rozwiąż podany układ równań, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ a,b,c,d,e,f}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+by=c\\ dx+ey=f \end{cases}}\) - Rozwiązane

8) Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1+ x_{2}+x_{3}+x_{4}+...+x_{2002}=0 \\ x_{1}+2+x_{3}+x_{4}+...+x_{2002}=0 \\ x_{1}+x_{2}+3+x_{4}+...+x_{2002}=0 \\ . \\ . \\ . \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2000}+2001+x_{2002}=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2001}+2002=0 \end{cases}}\) - Rozwiązane

9) Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8,9 tworzymy wszystkie możliwe liczby dziewięciocyfrowe. Ile z nich jest większych niż 678 000 000 ale mniejszych od 859 000 000?

10) Chwila, w której na trzech punktach obserwacyjnych dał się słyszeć huk wystrzału nieprzyjacielskiego działa, została dokładnie ustalona. Czy da się znaleźć położenie tego działa na mapie? - Rozwiązane

11) Iloczyn wszystkich dzielników liczby naturalnej n jest równy 8000. Znajdź n. - Udzielona wskazówka

12) Pewna liczba trzycyfrowa zaczynająca się na 3 ma tę własność, że po przestawieniu 3 na koniec otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) tej liczby. Co to za liczba? - Rozwiązane

13) Oblicz wartość \(\displaystyle{ 2004^{2}-2003^{2}+2002^{2}-2001^{2}+...-1^{2}+0^{2}-1^{2}+2^{2}-3^{2}+....-2003^{2}+2004^{2}}\). - Rozwiązane

14) Jaka jest dwa tysiące czwarta liczba w ciągu 1,0,2,1,3,2,4,...? (Kolejne liczby są na zmianę o 1 mniejszy i o 2 większe od poprzednich).

15) Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) będzie liczbą zapisaną za pomocą n jedynek (\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=11}\)). Ile wynosi suma \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+...+a_{29}}\)?

16) Znajdź wszystkie funkcje nieparzyste f spełniające warunek \(\displaystyle{ f(x-3)=f(3-x)}\) dla każdego x rzeczywistego. = Rozwiązane

17) Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ {2n \choose n} }{ 2003^{n} }}\). - Rozwiązane

18) Czy liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{77}}\) jest wymierna? -Udzielona Wskazówka

19) Wykaż, że pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi znajduje się pewna liczba niewymierna. - Rozwiązane

20) Średnia geometryczna nieujemnych liczb \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2004}}\) wynosi 2004. Ile wymosi średnia geometryczna liczb \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{2004}}\) i \(\displaystyle{ 2004^{2006}}\)? - Rozwiązane

21) Wykaż, że dla dowolnego a dodatniego \(\displaystyle{ \sqrt{a+ \sqrt{a+...+ \sqrt{a} } }< \sqrt{a} +1}\) , niezależnie od tego, ile pierwiastków jest po lewej stronie. - Rozwiązane

22) Czy prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ 100^{201}>99^{100} * 101^{101}}\)? - Rozwiązane

23) Ile zer jest w zapisie liczby utworzonej z kolejno napisanych dodatnich liczb parzystych mniejszych od 2004?

24) Ile zary w ciągu doby wskazówki zegara pokrywają sie? - Rozwiązane

25) Przez max(a,b) oznaczamy nie mniejszą z liczb a i b.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x=max(2x-3,x+1,1-x)+3}\). - Rozwiązane

26) Wyobraźmy sobie, że dookoła Ziemi biegnie po równiku olbrzymia obręcz. Na skutek panujących tam upałów wydłużyła się ona o 10m. Czy przez szczelinę powstałą między obręczą a równikiem przecisnie się człowiek? - Rozwiązane

27) Kiedy ostatni raz w ciągu doby wskazówki zegara są prostopadłe?

28) Dwóch uczniów otrzymało na kartkach identyczne działania do wykonania. Jeden z nich otrzymał wynik o 2277 większy niż drugi, chociaż obaj twierdzą, że nie popełnili błędu. Czy to możliwe?

29) Jaka funkcja spełnia dla dowolnych x i y warunek \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+y}\)?

30) Czy szachownicę 10x10 można pokryć płytkami 4x1?

31) Jakie funkcje spełniają równanie \(\displaystyle{ f(x^{3})=x^{9}+5}\) dla każdego x? - Rozwiązane

32) Czy cos15 stopni jest liczbą wymierną? - Rozwiązane

33) Czy kwadrat da się podzielić na 2002 trójkąty ostrokątne?

34) Podróżnik chce się przeprawic przez pustynię. Droga ta zajmuje 6 dni, a jeden człowiek może unieść rację żywności tylko na 4 dni. Podróżnik może jednak wynająć dowolną liczbę tragarzy. Czy ma szanse przeprawić się przez pustynię? - Rozwiązane

Może potem dodam jeszcze pare zadań.

I jeszcze zadanka:

35) Funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\) warunki: \(\displaystyle{ f(x+4) \le f(x)+4}\) i \(\displaystyle{ f(x+2005) \ge f(x)+2005)}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R f(x+1)=f(x)+1}\).

36) Znajdź zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ \sqrt{cos|x|}+ \sqrt{(x+\pi)(x-\pi)(x-2\pi)^{2}} }{ \sqrt{cos x}+ \sqrt{(x+\pi))(x-\pi)(x-2\pi)^{2}} }}\).

37) Znajdź wszystkie funkcji \(\displaystyle{ f,g: R \rightarrow R}\) spełniające dla dowolnych x i y: \(\displaystyle{ 2f(x)-3g(y)=2x^{2}+xy+3y^{2}-1}\). - Rozwiązane

38) Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y \\ \frac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z \\ \frac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{cases}}\). - Rozwiązane

39) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{x(x+1)(x+2)...(x+2004)}{x+1} \right|+ \left| \frac{x(x+1)(x+2)...(x+2004)}{x+2} \right|+ \left|\frac{x(x+1)(x+2)...(x+2004)}{x+3} \right|+...+ \left|\frac{x(x+1)(x+2)...(x+2004)}{x+2004} \right|=0}\) - Rozwiązane

Przenosze 2 nierozwiązane zadania meczowe z innego tematu:

40) Czy dla każdego a całkowitego istnieją takie całkowite x i y, że 123x + 1234y = a . - Rozwiązane

41) Jaką cyfrą kończy się zapis dziesiętny \(\displaystyle{ 2003^{| 2003^{2004!} - 2004^{2003!}| }}\)?}\)

[Nakahed90]

32) \(\displaystyle{ cos15^{o}=cos(45^{o}-30^{o})}\)

[alchemik]

zad. 16:    

\(\displaystyle{ f(x-3)=f(3-x)=f(-(x-3))}\), funkcja parzysta i nieparzysta z tresci zatem f(x)=0

zad. 18:    

standardowy dowód

zad. 20:    

niech \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{2004}=X}\), wtedy \(\displaystyle{ X=2004^{2004} => \sqrt[2005]{2004^{5000}}=...}\)

zad. 21:    

Lewa strona jest zbieżna i dąży do \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}}\)

zad. 25:    

zabawa na przedziałach

zad. 26:    

\(\displaystyle{ h=\frac{10}{2 \pi} \approx 1.6m}\)

zad. 28:    

NIE

zad. 29:    

\(\displaystyle{ f(x)=x+c}\), dla dowolnego c.

zad. 31:    

\(\displaystyle{ x^{3}+5}\)

[Citizen]

Alchemik, dzięki za podpowiedzi ale mógłbyś dodać tex i /tex, bo tak ciężko sie to czyta.

[kluczyk]

Zad.2

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ | \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}| < | \frac{x+z-y}{x+y+z}+ \frac{y+x-z}{y+z+x} + \frac{z+y-x}{z+x+y}|=1}\)

Zad.11

Ukryta treść:    

Rozłóż 8000 na czynniki pierwsze

zad.22

Ukryta treść:    

Prawą stronę zapisz, jako: \(\displaystyle{ 101 \cdot (100-1)^{100} \cdot (100+1)^{100}}\)

[Citizen]

Zad.2

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ | \frac{x-y}{x+y}+ \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x}| < | \frac{x+z-y}{x+y+z}+ \frac{y+x-z}{y+z+x} + \frac{z+y-x}{z+x+y}|}\)

Mógłbyś wyjaśnić to przejście?

[kluczyk]

Jeżeli mamy jakiś ułamek \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\), dla \(\displaystyle{ l>0}\) i \(\displaystyle{ k<l}\) (a tak jest w tym przypadku). To zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \frac{k}{l}< \frac{k+m}{l+m}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m>0}\) ,gdyż po wymnożeniu:\(\displaystyle{ kl+km<kl+lm \Leftrightarrow m(l-k)>0}\) co jest prawdą

[Citizen]

nie wiedziałem o tym, dzięki

[mol_ksiazkowy]

ad 17

Ukryta treść:    

zbiezny do zera, z kombinatoryki wiemy ze \(\displaystyle{ {2n \choose n} \leq 2^{2n}}\)

ad 19

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ gdy \ a<b}\) bierzemy \(\displaystyle{ a+\frac{1}{n}}\) ze stosownie duzym n

[Citizen]

mol_ksiazkowy, jeśli możesz wyjaśnij proszę ad19.

[mol_ksiazkowy]

Jesli \(\displaystyle{ a<b}\) sa to l niewymierne to \(\displaystyle{ a <a+ \frac{1}{n} <b}\) (bierzemy n duze , tj \(\displaystyle{ n> \frac{1}{b-a}}\)) i liczba \(\displaystyle{ a+ \frac{1}{n}}\) jest niewymierna.

[Justka]

6.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ sin1+sin3+...+sin99=\frac{sin^2 50}{sin 1} \Rightarrow sin1(sin1+sin3+...+sin99)=sin^2 50}\)
stąd
\(\displaystyle{ sin^2 1+\frac{cos2-cos4}{2}+\frac{cos4-cos6}{2}+...+\frac{cos98-cos100}{2}=sin^2 1 +\frac{cos2-cos100}{2}=sin^2 1+\frac{-2sin 51\cdot sin(-49)}{2}= ... = sin^2 50}\)

[Rogal]

Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ \sin 3 = \frac{\cos 2 - \cos 4}{2} ?}\)

[alchemik]

zad.7.:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} ax+(a+r)y=(a+2r) \\ (a+3r)x+(a+4r)y=(a+5r) \end{cases}}\)
Po odjęciu stronami: x+y=1, po podstawieniu x=-1, y=2

zad. 8:    

dodaj wszystko stronami, otrzymasz: \(\displaystyle{ 2001(x_{1}+x_{2}+...+x_{2002})+1001\cdot 2003=0}\) i teraz jeżeli chcesz \(\displaystyle{ x_{1}}\)obliczyć to pomnóż pierwsze równanie przez 2001 i odejmij od tego wyżej.

Rogal, \(\displaystyle{ sin 3 \cdot sin 1}\) w stopniach oczywiście.

zad. 10:    

Zakładając, że dźwięk rozchodzi się z jednakową szybkości, to da się, przez każde trzy punkty możemy poprowadzić tylko jeden okrąg, a więc prowadzimy przez te punkty okrąg, środek okręgu to miejsce wybuchu

[Rogal]

Fakt, źle popatrzyłem. Sorki za zamieszanie.