Matematyka.pl

Witam mam problem z lcizeniem pochodnych funkcji tryg, gdyz nie mielismy tego w szkole Moglby mi ktos rozpisac krok po kroku jak sie robi te 2 przyklady?:

1) \(\displaystyle{ y=sin^{4}2x - cos^{4}2x}\)
2) \(\displaystyle{ tg^{3}(2x+1)}\)

z gory wielkie dzieki

1) zamien na iloczyn korzystajac ze wzoru na roznice kwadratow, skorzystaj z tzw. jedynki trygonometrycznej,
2) pochodna f-cji zlozonej.

1) cos mi nie wychodzi:
y'= \(\displaystyle{ (sin^{2}2x - cos^{2}2x)(sin^{2}2x+ cos^{2}2x)= sin^{2}2x - cos^{2}2x}\)
dalej nie rozkladam ze wzoru na roznice bo mi sie jeszcze gorzej rozklada, korzysatm z f.zlozonej:
\(\displaystyle{ y'= 2sin2xcos2x + 2cos2xsin2x= 4sin2xcos2x}\)
a ma wyjsc 4sin4x

A znany jest Ci wzór na sinus podwojonego kąta?

Zauważ, że 2 sin x cos x =sin 2 x

Porozkładaj wyrażenie dalej bo będzie Ci wtedy łatwiej:
(sin�2x-cos�2x)=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)
i zastosuj wzór [f(x)•g(x)]'=f'(x)•g(x)+g'(x)•f(x)
oraz później (f[g(x)])'=f'[g(x)]•g'(x)
tak będzie prościej

Korzystając ze wzorów:
\(\displaystyle{ [f(x) - g(x)]\prime = f(x)\prime - g(x)\prime}\) ,
\(\displaystyle{ (x^{n})\prime = nx^{n-1}}\) ,
\(\displaystyle{ [f(g(x))]\prime = f\prime(g(x))\cdot g\prime (x)}\) ,
\(\displaystyle{ (sin(x))\prime = cos(x)}\) ,
\(\displaystyle{ (cos(x))\prime = -sin(x)}\) ,
\(\displaystyle{ (tg(x))\prime = \frac{1}{cos^{2}(x)}}\) ,
obliczamy:
\(\displaystyle{ (sin^{4}(2x)-cos^{4}(2x))\prime = 8cos(2x) sin^{3}(2x) + 8sin(2x) cos^{3}(2x)}\) ,
\(\displaystyle{ (tg^{3}(2x+1))\prime = \frac {6tg^{2}(2x+1)}{cos^{2}(2x+1)}}\) .

juz zrobilem, ale i tak dzieki Sagittarius

I ile Ci wyszło?:)
Moim zdaniem nie ma sensu tego rozkładać tak jak proponował Site Admin i pozostali...

no w pierwszym 4sin4x tak jak jest w odpowiedziach
ale w drugim mam pytanko co do funkcji zlozonej:
bo ja robilem to tak:
\(\displaystyle{ 3tg(2x+1)*[tg(2x+1)]'= \frac{3tg(2x+1)}{cos^{2}(2x+1)}}\)
cos tu zle rozkminiam z ta funkcja zlozona...

Zapomniałeś podnieść tangens to kwadratu i o jego pochodnej wewnętrznej.

a moglbys mi to rozpisac krok po kroku?
bo ja cos zle robie powiedzmy, ze mam funkcje zlozona
\(\displaystyle{ (2x+1)^{2} f'= 2(2x+1)*(2x+1)'= 4(2x+1)}\)
a z tym tangensem cos mi sie wali

\(\displaystyle{ (tg^{3}(2x+1))\prime=3tg^{2}(2x+1)\cdot(tg(2x+1))\prime=3tg^{2}(2x+1)\cdot \frac{1}{cos^2(2x+1)}\cdot(2x+1)\prime}\) ,
\(\displaystyle{ 8cox(2x)\cdot sin^{3}(2x)+8sin(2x)\cdot cos^{3}(2x)=8sin(2x)cos(2x)\cdot(sin^{2}(2x)+cos^{2}(2x))=8sin(2x)cos(2x)=4sin(4x)}\) ,
Czy tak nie jest prościej?

o rozumiem juz dzieki wielkie, Twoj sposob co do pierwszego przykladu jest 2 razy szybszy

Nie ma za co, zawsze do usług