Strona 1 z 1
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 19:12
autor: ojciec_kogut
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 20:13
autor: luka52
Niech
\(\displaystyle{ I = \int (x^6 + x^3) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x}\).
\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} I & = & \int (x^4 + x) \cdot x^2 \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \\
& = & \frac{1}{4} (x^4 + x) \cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; - \; \frac{1}{4} \int (4x^3 + 1)\cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; \mbox d x \\
& = & \frac{1}{4} (x^4 + x) \cdot (x^3 + 2)^{4/3} \; - \; \int (x^6 + x^3 ) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x - \frac{1}{4} \int (5x^3 + 2) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \end{eqnarray*}}\)
Zajmijmy się teraz nowo powstałą całką i oznaczmy ją przez
\(\displaystyle{ J}\). Oczywiście zachodzi
\(\displaystyle{ I = \tfrac{1}{8} (x^4 + x) (x^3+2)^{4/3} - \tfrac{1}{8}J}\).
Całkę
\(\displaystyle{ J}\) obliczamy analogicznie, tj.:
\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} J & = & 5 \int x \cdot x^2 \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x + 2 \int \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \\
& = & \frac{5}{4} x (x^3 + 2)^{4/3} - \frac{1}{4} \int ( 5x^3 + 2 + 8 ) \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x + 2 \int \sqrt[3]{x^3 + 2} \; \mbox d x \end{eqnarray*}}\)
Widzimy już, że
\(\displaystyle{ J = x (x^3 + 2)^{4/3}}\). Elementarne rachunki pozwalają nam wyznaczyć końcowy wynik jako:
\(\displaystyle{ \boxed{I = \frac{1}{8} x^4 (x^3 + 2) \sqrt[3]{x^3 + 2} + C}}\)
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 20:17
autor: Mariusz M
Podstawienie \(\displaystyle{ 1+x^3=t}\)
aby sprowadzić całkę do postaci różniczki dwumiennej
Następnie podstawienie związane z różniczką dwumienną
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 20:34
autor: luka52
mariuszm, to podstawienie nic nie ułatwia.
Mamy z niego, że \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{t-1} , \; \mbox d x = \tfrac{1}{3}(t-1)^{-2/3}}\) i podstawiając wszystko do całki otrzymamy:
\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} (-1+t)^{1/3} t (1+t)^{1/3} \; \mbox d t}\) - nie jest to bynajmniej całka różniczki dwumiennej.
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 21:52
autor: Mariusz M
luka52 pisze:mariuszm, to podstawienie nic nie ułatwia.
Mamy z niego, że \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{t-1} , \; \mbox d x = \tfrac{1}{3}(t-1)^{-2/3}}\) i podstawiając wszystko do całki otrzymamy:
\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} (-1+t)^{1/3} t (1+t)^{1/3} \; \mbox d t}\) - nie jest to bynajmniej całka różniczki dwumiennej.
No tak luka ale tę całkę można teraz zapisać w postaci
\(\displaystyle{ I = \int \frac{1}{3} t (-1+t^2)^{1/3} \; \mbox d t}\)
A to jest całka z różniczki dwumiennej
Można także przez części tak jak pokazałeś
Moja pierwsza myśl to też scałkować przez części ale źle dobrałem
funkcje
Podstawieniami też można obliczyć
Nie radzę jednak rozbijać tej całki na całkę sumy
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 21:59
autor: luka52
mariuszm, heh, masz rację
niestandardowa całka
: 28 maja 2009, o 23:16
autor: Mariusz M
ojciec_kogut pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)
Przez części już luka obliczył
ja teraz postaram się obliczyć podstawieniem
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (x^{6}+x^{3}) \sqrt[3]{x^3+2} dx}\)
\(\displaystyle{ t=1+x^3}\)
\(\displaystyle{ dt=3x^2dx}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{dx}{3x^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ \frac{x^3}{x^2}*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ x*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ \sqrt[3]{t-1}*t* \sqrt[3]{1+t} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ t* \sqrt[3]{-1+t^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \int{ t* \left( -1+t^2\right)^ \frac{1}{3} }}\)
\(\displaystyle{ u^3=-1+t^2}\)
\(\displaystyle{ 3u^2du=2tdt}\)
\(\displaystyle{ dt= \frac{3u^2}{2t}du}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{6} \int{ \frac{u^2}{t}*t*u }du}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int{ u^3 du}= \frac{1}{8}u^{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8}u^4= \frac{1}{8} \left( -1+ \left( 1+x^3\right)^2 \right)^ \frac{4}{3} = \frac{1}{8} \left(-1+x^6+2x^3+1 \right)^ \frac{4}{3} =}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{8} \left( x^6+2x^3\right)^ \frac{4}{3}= \frac{1}{8} \left( x^3\right)^ \frac{4}{3} \left( x^3+2\right)^ \frac{4}{3}=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{8}x^4 \left(x^3+2\right) ^ \frac{4}{3} +C}\)