Matematyka.pl

prosiłabym o pomoc w takich oto zadankach
za każdą pomoc z góry dzięki

1. liczby u oraz v są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^2+bx+c=0}\), podaj przykład równania którego pierwiastkami są liczby 2u oraz 2v

2. nie rozwiązując równania \(\displaystyle{ x^2+sqrt{5}\cdot x-2=0}\), oblicz sumę n-tych potęg jego pierwiastkółw dla n=1, n=4, n=6

3.liczby x1 oraz x2 są pierwiastkami trójmianu o współczynnikach wymiernych. wykaż że wyrażenie \(\displaystyle{ (x_1)^n+(x_2)^n}\) jest liczbą wymierną

ad 1) u + v = -b / a /*2
2u + 2v = -2b/a

czyli wspolczynnik b ma byc 2 razy wiekszy niz w tamtym
x(kwadrat) + 2bx + c = 0

Ale to nie wszystko, bo jeszcze
u*v=c/a,
czyli dla "nowych" pierwiastkow mamy:
2u*2v=4c/a,
a wiec rownanie, ktorego szukamy ma postac:
x^2 + 2*b*x + 4*c = 0
Sprawdzic mozna latwo, liczac pierwiastki wyjsciowego rownania i tego ktore wyszlo, no i faktycznie te drugie sa dwa razy wieksze

AD 2
Korzystając ze wzorów Viete'a wiemy:

\(\displaystyle{ x_1+x_2=-\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ x_1\cdot x_2=2}\)

Dla n = 1 juz mamy policzone.
Dla n=4 mamy: Będziemy korzystać ze wzorów skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ x_1 ^{4}+x_2 ^{4}=(x_1+x_2)^4-6(x_1\cdot x_2)^2-4x_1 x_2 ((x_1+x_2)^2-2x_1 \cdot x_2 )}\)

Wystarczy podstawić. Dla n=6 jest podobna robota tyle, że dłuższa.