Matematyka.pl

Adam napisał i ukrył wielomian W pewnego stopnia o nieujemnych
współczynnikach całkowitych. Bartek chce odgadnąć ten wielomian.
Adam może mu podać wartość wielomianu dla dowolnego całkowitego
argumentu x. Pokazać, że Bartek może odgadnąć wielomian zadając
tylko dwa odpowiednie pytania.

Niech \(\displaystyle{ W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0}\).

Mam nadzieję, że pytania można zadać po kolei, bo inaczej ciężko to widzę

Najpierw pytamy o W(1), powiedzmy, że to jest y. A potem potem pytamy o W(y+1), powiedzmy, że to z.

Jak z tego teraz wyciągnąć informacje o współczynnikach? Ano mamy takie dwie równości:

\(\displaystyle{ y=a_n+a_{n-1}+\cdots+ a_1+a_0}\).

\(\displaystyle{ z=a_n(y+1)^n+\cdots +a_1(y+1)+a_0}\).

Jako, że współczynniki są nieujemne całkowite, więc z pierwszej równości wynika, że każdy jest mniejszy od y+1, czyli druga równość oznacza zapis liczby z w systemie pozycyjnym o podstawie y+1, który jest jednoznaczny. Dla obliczenia współczynników wystarczy znaleźć ten zapis.

Pozdrawiam.