Matematyka.pl

Na ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, którego przeciwległe krawędzi boczne są prostopadłe opisano kulę o objętości \(\displaystyle{ 36\pi cm}\).
Oblicz powierzchnię ostrosłupa.

\(\displaystyle{ 36 pi = \frac{4}{3} * pi * r ^{3}}\)
\(\displaystyle{ 36 = \frac{4}{3} * r ^{3}}\) mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 27 = r ^{3}}\)
\(\displaystyle{ r = \sqrt[3]{27}}\)
\(\displaystyle{ r = 3}\)

Promień kuli ma długość 3cm, więc jej średnica to d = 6cm
Jednocześnie jej średnica jest przekątną kwadratu, który jest podstawą ostrosłupa

ze wzoru na przekątną kwadratu \(\displaystyle{ d = a* \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ 6= a* \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{6}{ \sqrt{2} } = \frac{6* \sqrt{2} }{2} = 3 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{p} = a ^{2} = 18}\)
W ostrosłupie przeciwległe krawędzie boczne tworzą kąt 90st. więc tworzy się trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu którym jest krawędź boczna, i o podstawie, która jest przekątna kwadratu (d=6)
Więc trójkąt ten jest trójkątem o kątach 90 45 45 i z własności ramię będzie równe długości podstawy podzielonej przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{6}{ \sqrt{2} } = 3* \sqrt{2}}\)
Czyli krawędź boczna ma długość \(\displaystyle{ 3* \sqrt{2}}\)
Ściana boczna ostrosłupa jest trójkątem równobocznym: jego długość ramienia jest równa długości podstawy.

\(\displaystyle{ P _{b} = \frac{a ^{2}* \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ P _{b} = \frac{18* \sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ P _{b} = \frac{9* \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 4P _{b} = 2 * 9 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P _{c} = P _{p} + 4P _{b} = 18 + 18 \sqrt{3} cm ^{2}}\)

Na moje oko promieniem kuli jest połowa przekątnej podstawy ostrosłupa (na podstawie tw. o kącie opartym na średnicy, tzn że jest prosty).

z objętości kuli mamy:

\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pir ^{3}= 36\pi}\)

\(\displaystyle{ r ^{3}=27}\)

\(\displaystyle{ r=3}\)
przekątna podstawy ma więc dl.
\(\displaystyle{ d=6}\)

\(\displaystyle{ a \sqrt{2}=6}\)

\(\displaystyle{ a=3 \sqrt{2}}\)

ponieważ przekrojem tego ostrosłupa jest tr. prostokątny równoramienny o krawędzi x, zatem

\(\displaystyle{ x ^{2}+ x ^{2}=6 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2x ^{2}=36}\)

\(\displaystyle{ x ^{2}=18}\)

\(\displaystyle{ x=3 \sqrt{2}}\)

wysokość ściany bocznej liczymy z Pitagorasa:

\(\displaystyle{ h ^{2}+( \frac{1}{2}a) ^{2}=x ^{2}}\)

podstawiasz wyliczone wartości i obliczasz h, później ze wzoru na pole powierzchni ostrosłupa. Mam nadzieje, ze sobie poradzisz.