Matematyka.pl

Szukałem tego wszędzie i nigdzie nie mogłem znaleźć jak to rozwiązać, a jest mi to bardzo potrzebne do szkoły. Nie zależy mi na wyniku, chciałbym znać każdy krok jak to policzyć.

1. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) wynosi 6, zaś z dzielenia W(x) przez (x-1) reszta jest równa 3. Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\)+x-2.

2. Wyznacz te wartości m, dla których reszta z dzielenia wielomianu H(x)=-5\(\displaystyle{ x ^{8}}\) + \(\displaystyle{ m ^{2}}\)\(\displaystyle{ x ^{4}}\) - 3m przez (x-1) jest mniejsza od -1.

1.
\(\displaystyle{ x^2+x-2=(x+2)(x-1)}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ (x+2)(x-1)}\) jest stopnia drugiego, to poszukiwana reszta jest najwyżej wielomianem stopnia 1. Trzeba znaleźć takie a i b, żeby zachodziła równość:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x+2)\cdot g(x)+(ax+b)}\)
\(\displaystyle{ g(x)}\) to wielomian
Z twierdzenia Bezout mamy też takie równości:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)\cdot h(x)+3\\W(x)=(x+2)\cdot i(x)+6}\)
\(\displaystyle{ h(x)}\) i \(\displaystyle{ i(x)}\) to wielomiany.
Z powyższych równości wynika, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=a+b=3\\W(-2)=-2a+b=6\end{cases}}\)
A z tego układu wynika, że \(\displaystyle{ a=-1 \wedge b=4}\)
Poszukiwana reszta to \(\displaystyle{ -x+4}\)

1. Z twierdzenia Bezouta mamy: \(\displaystyle{ W(-2)=6}\) oraz \(\displaystyle{ W(1)=3}\)
Dalej zauważamy że \(\displaystyle{ x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-1) \cdot Q(x) + ax+b}\)
\(\displaystyle{ ax + b}\) to szukana reszta która, skoro dzielimy przez wielomian stopnia drugiego, jest stopnia najwyżej pierwszego.
\(\displaystyle{ W(-2)=0 -2a+b=6}\)
\(\displaystyle{ W(1)= 0 +a+b=3}\)

Pozostaje nam wyliczenie a i b z układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a+b=6 \\ a+b=3\end{cases}}\)

Odp: \(\displaystyle{ R(x)= -x+4}\)