Matematyka.pl

np mam taki polecenie : W pierścieniu P wykonaj dzielenie z resztą wielomianu f przez g :

\(\displaystyle{ P=Z _{5}[X]}\)

\(\displaystyle{ f=X ^{5}+4X ^{4}+3X ^{2}+2}\)

\(\displaystyle{ g=2X ^{3}+X+4}\)

wiadomo dzieli się jak w normalnych wielomianach tylko trzeba zmieniać współczynniki żeby były w modulo 5
i od razu mam problem bo skąd wiadomo że \(\displaystyle{ X ^{5} : 2X ^{3}=3X ^{2}}\)
może mi to ktoś wytłumaczyć ?
jak się dzieli w modulo ? np ile to jest \(\displaystyle{ 2X ^{5} : 3X ^{3}}\) ?

Dzieli się tak, że się mnoży przez element odwrotny, który w ogólności można wyznaczać np z rozszerzonego algorytmu Euklidesa, ale w tym wypadku znacznie prościej jest znaleźć element odwrotny do danego mnożąc go po kolei przez elementy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) (w końcu jest ich tylko 4 - zero odpada) dopóki nie otrzymamy 1.
Np \(\displaystyle{ 2\cdot 3 = 1,}\) więc \(\displaystyle{ 2^{-1} = 3}\) stąd pierwszy wynik, i \(\displaystyle{ 2 = 3^{-1},}\) więc \(\displaystyle{ 2:3 = 2\cdot 3^{-1} = 2\cdot 2 = 4.}\)

Ja też tego nie rozumiem ;/ proszę o dokładniejsze wytłumaczenie

na przykład \(\displaystyle{ 2x^{5}: x^{3} w Z_{3}}\) to według tego co piszesz wyszło mi \(\displaystyle{ 4x^{2}}\);/