Matematyka.pl

oblicz długość łuku:
1. \(\displaystyle{ y^2=4x^3 ; 0 \le x \le \frac{8}{9}}\)
2. \(\displaystyle{ 9y^2=4x^3 ; 0 \le x \le 3}\)

Żeby się fajnie liczyło, to trzeba sobie zrobić fajna parametryzację, np w 1 taką

\(\displaystyle{ x=t^2, y=\frac{1}{2}t^3}\). Z granic dla x ustalasz zakres dla t: \(\displaystyle{ -\frac{2\sqrt{2}}{3}\le t\le \frac{2\sqrt{2}}{3}}\). Wstawiasz do wzoru i gotowe.

W 2 analogicznie.

Pozdrawiam.

Dzięki za pomoc. Jednak nie rozumiem jak te funkcje można sprowadzić do równań parametrycznych. Da się to jakoś policzyć inaczej? Do tej pory ja wyznaczałem z rownania y oraz liczylem całkę. Tylko wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedziach...

Nie trzeba robić z tego równań parametrycznych - ale ponieważ w obu równaniach krzywych y jest w kwadracie, to po rozwiązaniu tego dla y wtedy wychodzą Ci dwie funkcje - i pewnie stąd się bierze Twój błąd.

Jeśli chcesz mieć jedną funkcję opisującą tą krzywą, to wyznacz z równań x.

Pozdrawiam.

Aha, mam jeszcze pytanko: jak wyznacze sobie x to przedział całkowania jak wyznaczyć? Bo domyślam sie ze będzie inny

Masz przedział dla x i wiesz jak x wygląda - to stąd wyznaczasz przedział dla y (po prostu rozwiązujesz podwójną nierówność).

Jeśli chodzi o to, jak te funkcje zapisać parametrycznie, to po prostu kombinujesz sobie. Ponieważ po jednej stronie masz x w 3 potędze, a po drugiej y w kwadracie, to najlepiej będzie jak za x podstawisz parametr w 2 potędze, a za y w trzeciej - żeby zamiast pierwiastków rozpatrywać potęgi. Pozostaje już tylko ustalić, jak muszą wyglądać stałe, żeby zachodziła wyjściowa równość.

Pozdrawiam.

witia pisze:oblicz długość łuku:

2. \(\displaystyle{ 9y^2=4x^3 ; 0 \le x \le 3}\)

\(\displaystyle{ y= \sqrt{ \frac{4}{9}x ^{3} }= \frac{2}{3} \sqrt{x ^{3} }}\)

\(\displaystyle{ y'= \frac{2}{3} \frac{1}{2 \sqrt{x ^{3} } } 3x ^{2} = \frac{x ^{2} }{ \sqrt{x ^{3} } }}\)

\(\displaystyle{ (y') ^{2}=x}\)

\(\displaystyle{ dL= \int_{0}^{3} \sqrt{1+x}dx=...=[ \frac{2}{3} \sqrt{(1+x) ^{3} } ] ^{3} _{0}=....}\)

zadanie nr 1 na takiej samej zasadzie.

Prawie, tylko łuk jest dwa razy dłuższy niż wynika z tej całki, bo są dwie symetryczne części tej krzywej:

\(\displaystyle{ y= \pm \frac{2}{3} \sqrt{x ^{3} }}\)

Pozdrawiam.