Matematyka.pl

Mamy dla szeregu sprawdzić zbieżność i jeśli jest zbieżny to policzyć jego sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 6^{n} }}\)

to jakiś prosty przykład, ale ja stykam się z tym pierwszy raz, zbieżność stwierdziłam na podstawie kryterium d' Alemberta ale jak sumę policzyć? jedyne co widzę to to że napewno nie jest geometryczny, coś mi kobieca intuicja podpowiada że jest potęgowy, czyżby? a jeśli tak to czy są na to więc jakieś wzory?
proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + 3^{n} }{ 6^{n} }=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 3^{n} }{ 6^{n} }+\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} }{ 6^{n} }}\)
dalej nie jest geometryczny?

Skorzystaj z tego, ze jesli szeregi \(\displaystyle{ \sum a_n}\) i \(\displaystyle{ \sum b_n}\) sa zbiezne, to zbiezny jest szereg \(\displaystyle{ \sum (a_n + b_n)}\). Otrzymasz dwa szeregi geometryczne.

tak, tak, jak już kolega to tak rozdzielił to mnie oświeciło
dzięęęki
bo nie wiedziałam że to można tak rozbić, czyli wystarczy że zbadam np. z tego kryterium d'alemberta czy cały szereg jest zbieżny jeśli jest to znaczy że wszystkie sumy częściowe zawierające się w nim też są zbieżne więc mogę dowolnie go rozbijać, dobrze myślę?

Nie. Wez sobie np. \(\displaystyle{ \sum (-1)^k}\) oraz \(\displaystyle{ \sum (-1)^{k+1}}\).

\(\displaystyle{ \sum \left((-1)^k + (-1)^{k+1}\right) = \sum 0 = 0}\), ale zaden z powyzszych szeregow nie jest zbiezny.

Oczywiscie jesli polozysz \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^n x_n}\) oraz \(\displaystyle{ S_n}\) jest zbiezny, to kazdy podciag \(\displaystyle{ S_n}\) jest zbiezny.

aha, w ten sposób
już rozumiem, za bardzo uogólniłam
jeszcze raz dzięki za pomoc , teraz pójdzie już gładko dla 20 przykładów

Powodzenia.